Това, което се нарича детерминанта на матрица. Детерминанта на матрица и нейните свойства. Обща схема за изчисляване на детерминанти

Нека има квадратна матрица A с размер n x n.
Определение.Детерминантата е алгебричната сума на всички възможни произведения на елементи, взети по един от всяка колона и всеки ред на матрицата A. Ако във всяко такова произведение (член на детерминантата) факторите са подредени по реда на колоните (т.е. вторите индекси на елементите a ij в произведението са подредени във възходящ ред), тогава със знака (+) тези взети са произведения, чиято пермутация на първите индекси е четна, а със знак (-) – тези, за които е нечетна.
.
Ето броя на инверсиите при пермутацията на индекси i 1, i 2, ..., i n.

Методи за намиране на детерминанти

1. Детерминанта на матрица чрез разширение на ред и колона чрез второстепенни.
2. Детерминант чрез метода на редукция до триъгълна форма (метод на Гаус)

Свойство на детерминантите

1. Когато една матрица се транспонира, нейната детерминанта не се променя.
2. Ако размените два реда или две колони на детерминанта, детерминантата ще промени знака, но няма да промени абсолютната стойност.
3. Нека C = AB, където A и B са квадратни матрици. Тогава detC = detA ∙ detB.
4. Детерминанта с два еднакви реда или две еднакви колони е равна на 0. Ако всички елементи на даден ред или колона са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.
5. Детерминанта с два пропорционални реда или колони е 0.
6. Детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на диагоналните елементи. Детерминантата на диагонална матрица е равна на произведението на елементите на главния диагонал.
7. Ако всички елементи на ред (колона) се умножат по едно и също число, тогава детерминантата ще бъде умножена по това число.
8. Ако всеки елемент от определен ред (колона) на детерминанта се представи като сбор от два члена, то детерминантата е равна на сумата от две детерминанти, в която всички редове (колони) с изключение на този са еднакви, а в този ред (колона) първата детерминанта е първият, а във втория - вторият член.
9. Теорема на Якоби: Ако към елементите на дадена колона от детерминантата добавим съответните елементи от друга колона, умножени по произволен коефициент λ, то стойността на детерминантата няма да се промени.

• транспониране на матрица;
• добавете към всеки низ друг низ, умножен по произволно число.

Упражнение 1. Изчислете детерминантата, като я разширите по ред или колона.
Решение: xls
Пример 1: xls

Задача 2. Изчислете детерминантата по два начина: а) като използвате правилото на „триъгълниците“; б) разширение по линия.

Решение.
а) Членовете, включени в знака минус, се конструират по същия начин по отношение на страничния диагонал.

Задача 3. Посочете на какво е равен детерминантата на квадратна матрица A от четвърти ред, ако нейният ранг r(A)=1.
Отговор: det(A) = 0.

Детерминанти и техните свойства. Пренарежданечислата 1, 2,..., n е всяко подреждане на тези числа в определен ред. В елементарната алгебра е доказано, че броят на всички пермутации, които могат да бъдат образувани от n числа, е 12...n = n!. Например от три числа 1, 2, 3 можете да образувате 3!=6 пермутации: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Казват, че в тази пермутация числата i и j са инверсия(разстройство), ако i>j, но i е преди j в тази пермутация, тоест ако по-голямото число е вляво от по-малкото.

Пермутацията се нарича дори(или странно), ако има четен (нечетен) общ брой инверсии. Операцията, чрез която се преминава от една пермутация към друга, съставена от еднакви n числа, се нарича заместване n-та степен.

Заместване, което превръща една пермутация в друга, се записва на два реда в общи скоби, а числата, заемащи едни и същи места в разглежданите пермутации, се наричат релевантнии са написани едно под друго. Например, символът представлява заместване, при което 3 става 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Заместването се нарича дори(или странно), ако общият брой инверсии в двата низа за заместване е четен (нечетен). Всяко заместване на n-та степен може да се запише във формата, т.е. с естествени числа в горния ред.

Нека ни е дадена квадратна матрица от ред n

Нека разгледаме всички възможни произведения на n елемента от тази матрица, взети един и само един от всеки ред и всяка колона, т.е. работи от формата:

, (4.4)

където индексите q 1, q 2,...,q n представляват някаква пермутация на числа
1, 2,..., н. Броят на такива продукти е равен на броя на различните пермутации на n символа, т.е. е равно на n!. Знакът на произведението (4.4) е равен на (- 1) q, където q е броят на инверсиите при пермутацията на вторите индекси на елементите.

Определящо n-тият ред, съответстващ на матрица (4.3), се нарича алгебрична сума n! членове на формата (4.4). За да напишете детерминанта, използвайте символа или detA = (детерминанта, или детерминанта, на матрица А).

Свойства на детерминантите

1. Детерминантата не се променя по време на транспониране.

2. Ако един от редовете на детерминантата се състои от нули, то детерминантата е равна на нула.

3. Ако два реда в детерминантата се пренаредят, детерминантата ще промени знака.

4. Детерминанта, съдържаща два еднакви низа, е равна на нула.

5. Ако всички елементи от определен ред на детерминантата се умножат по някакво число k, то самата детерминанта ще бъде умножена по k.

6. Детерминанта, съдържаща две пропорционални прави, е равна на нула.

7. Ако всички елементи i-ти реддетерминантите са представени като сумата от два члена a i j = b j + c j (j = 1,...,n), тогава детерминантата е равна на сумата от детерминантите, за които всички редове с изключение на i-тия са същите като в дадената детерминанта и i-ти редв единия член се състои от елементи b j, в другия - от елементи c j.

8. Детерминантата не се променя, ако съответните елементи на друг ред се добавят към елементите на един от неговите редове, умножени по същото число.

Коментирайте.Всички свойства остават валидни, ако вземем колони вместо редове.

Незначителен M i j на елемента a i j от детерминанта d от n-ти ред се нарича детерминанта от ред n-1, която се получава от d чрез изтриване на реда и колоната, съдържащи този елемент.

Алгебрично допълнениеелемент a i j от детерминантата d се нарича неговия минор M i j , взет със знака (-1) i + j . Алгебричното допълнение на елемент a i j ще бъде означено с A i j . Така A i j = (-1) i + j M i j .

Методи за практическо изчисляване на детерминанти, основани на факта, че детерминанта от ред n може да бъде изразена чрез детерминанти от по-ниски редове, са дадени от следната теорема.

Теорема (разлагане на детерминантата в ред или колона).

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на всички елементи на нейния произволен ред (или колона) от техните алгебрични допълнения. С други думи, има разширяване на d в елементи на i-тиялинии

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = 1,...,n)

или j-та колона

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =1,...,n).

По-специално, ако всички освен един елемент от ред (или колона) са нула, тогава детерминантата е равна на този елемент, умножен по неговото алгебрично допълнение.

Формула за изчисляване на детерминанта от трети ред.

За да направите тази формула по-лесна за запомняне:

Пример 2.4.Без да пресмятате детерминантата, покажете, че тя е равна на нула.

Решение.Изваждайки първия от втория ред, получаваме детерминанта, равна на оригиналната. Ако също извадим първия от третия ред, получаваме определител, в който двата прави са пропорционални. Тази детерминанта е равна на нула.

Пример 2.5.Изчислете детерминантата D = като я разгънете в елементите на втората колона.

Решение.Нека разширим детерминантата в елементите на втората колона:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

.

Пример 2.6.Изчислителна детерминанта

,

в който всички елементи от едната страна на главния диагонал са равни на нула.

Решение.Нека разширим детерминантата на A по първия ред:

.

Детерминантата вдясно може да бъде разширена отново по първия ред, тогава получаваме:

.

Пример 2.7.Изчислителна детерминанта .

Решение.Ако добавите първия ред към всеки ред на детерминанта, започвайки от втория, ще получите детерминанта, в която всички елементи под главния диагонал ще бъдат равни на нула. А именно, получаваме детерминантата: , равен на оригиналния.

Разсъждавайки както в предишния пример, откриваме, че той е равен на произведението на елементите на главния диагонал, т.е. н!. Методът, по който се изчислява този детерминант, се нарича метод на редукция до триъгълна форма.

- Пусни синигера на сигурна смърт!
Свободата да я гали!
И корабът плава, и реакторът бучи...
- Паш, инат ли си?

Спомням си, че не харесвах алгебра до 8 клас. Изобщо не ми хареса. Тя ме ядоса. Защото там нищо не разбрах.

И тогава всичко се промени, защото открих един трик:

В математиката като цяло (и алгебрата в частност) всичко е изградено върху компетентна и последователна система от определения. Ако знаете дефинициите, разберете същността им, няма да е трудно да разберете останалото.

Така е и с темата на днешния урок. Ще разгледаме подробно няколко свързани въпроса и определения, благодарение на които веднъж завинаги ще разберете матриците, детерминантите и всичките им свойства.

Детерминантите са централно понятие в матричната алгебра. Подобно на формулите за съкратено умножение, те ще ви преследват през целия курс на висшата математика. Затова четем, гледаме и разбираме задълбочено. :)

И ще започнем с най-съкровеното – какво е матрица? И как да работите с него правилно.

Правилно разположение на индексите в матрицата

Матрицата е просто таблица, пълна с числа. Нео няма нищо общо с това.

Един от ключови характеристикиматрица е нейното измерение, т.е. броя на редовете и колоните, от които се състои. Обикновено казваме, че дадена матрица $A$ има размер $\left[ m\times n \right]$, ако има $m$ реда и $n$ колони. Напишете го така:

Или така:

Има и други означения - всичко зависи от предпочитанията на преподавателя/семинарста/автора на учебника. Но във всеки случай, с всички тези $\left[ m\times n \right]$ и $((a)_(ij))$ възниква същият проблем:

Кой индекс за какво е отговорен? Първо ли е номерът на реда, след това номерът на колоната? Или обратното?

Когато четете лекции и учебници, отговорът ще изглежда очевиден. Но когато на изпит имаш пред себе си само лист със задача, можеш да се превъзбудиш и изведнъж да се объркаш.

Така че нека разрешим този въпрос веднъж завинаги. Като начало, нека си спомним обичайната координатна система от училищен курс по математика:

Въвеждане на координатна система на равнина

Помниш ли я? Тя има начало (точка $O=\left(0;0 \right)$) на осите $x$ и $y$ и всяка точка от равнината се определя еднозначно от координатите: $A=\left( 1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ и т.н.

Сега нека вземем тази конструкция и я поставим до матрицата, така че началото на координатите да е в горния ляв ъгъл. Защо там? Да, защото отваряйки книга, започваме да четем отляво горен ъгълстраници - по-лесно се запомня.

Но къде трябва да бъдат насочени осите? Ще ги насочим така, че цялата ни виртуална „страница“ да бъде покрита от тези оси. Вярно е, че за това ще трябва да завъртим нашата координатна система. само възможен варианттова местоположение:

Сега всяка клетка от матрицата има уникални координати $x$ и $y$. Например, писането на $((a)_(24))$ означава, че имаме достъп до елемента с координати $x=2$ и $y=4$. Размерите на матрицата също са уникално определени от двойка числа:

Просто погледнете тази снимка внимателно. Поиграйте си с координатите (особено когато работите с реални матрици и детерминанти) - и много скоро ще разберете, че дори и в най-сложните теореми и дефиниции разбирате отлично какво се казва.

Схванах го? Е, нека да преминем към първата стъпка от просветлението - геометричната дефиниция на определителя. :)

Геометрична дефиниция

Първо, бих искал да отбележа, че детерминантата съществува само за квадратни матрици от формата $\left[ n\times n \right]$. Детерминантата е число, което се изчислява по определени правила и е една от характеристиките на тази матрица (има и други характеристики: ранг, собствени вектори, но повече за това в други уроци).

И така, каква е тази характеристика? Какво означава? Просто е:

Детерминантата на квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$ е обемът на $n$-мерен паралелепипед, който се образува, ако разгледаме редовете на матрицата като вектори, образуващи ръбовете на този паралелепипед.

Например детерминантата на матрица 2x2 е просто площта на успоредник, но за матрица 3x3 вече е обемът на триизмерен паралелепипед - същият, който вбесява всички ученици в гимназията в уроците по стереометрия .

На пръв поглед това определение може да изглежда напълно неадекватно. Но нека не бързаме със заключенията - нека да разгледаме примерите. Всъщност всичко е елементарно, Уотсън:

Задача. Намерете детерминантите на матриците:

\[\ляво| \begin(matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrix) \right|\]

Решение. Първите две детерминанти са с размер 2x2. Това са просто площите на успоредниците. Нека ги начертаем и изчислим площта.

Първият успоредник е построен върху векторите $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ и $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Детерминантата на 2x2 е площта на успоредник

Очевидно това не е просто успоредник, а доста правоъгълник. Площта му е

Вторият успоредник е построен върху векторите $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ и $((v)_(2))=\left(2;2 \right )$. Е, какво от това? Това също е правоъгълник:

Друга детерминанта 2x2

Страните на този правоъгълник (по същество дължините на векторите) се изчисляват лесно с помощта на Питагоровата теорема:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\ляво| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\край (подравняване)\]

Остава да се справим с последната детерминанта - тя вече съдържа матрица 3x3. Ще трябва да запомните стереометрията:

Детерминантата на 3x3 е обемът на паралелепипед

Изглежда умопомрачително, но всъщност е достатъчно да запомните формулата за обема на паралелепипед:

където $S$ е площта на основата (в нашия случай това е площта на успоредника в равнината $OXY$), $h$ е височината, начертана към тази основа (всъщност $ z$-координата на вектора $((v)_(3) )$).

Площта на успоредника (начертахме го отделно) също е лесна за изчисляване:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Записваме отговорите.

Отговор: 3; 4; 24.

Малка забележка относно системата за нотиране. Някои хора вероятно няма да харесат факта, че пренебрегвам „стрелките“ над векторите. Предполага се, че можете да объркате вектор с точка или нещо друго.

Но нека бъдем сериозни: вече сме пораснали момчета и момичета, така че от контекста разбираме много добре кога говорим за вектор и кога за точка. Стрелките само задръстват повествованието, което вече е натъпкано до ръба с математически формули.

И по-нататък. По принцип нищо не ни пречи да разгледаме детерминантата на матрица 1x1 - такава матрица е просто една клетка и числото, записано в тази клетка, ще бъде детерминантата. Но тук има важна забележка:

За разлика от класическия обем, определителят ще ни даде т.нар. ориентиран обем“, т.е. обем, като се вземе предвид последователността на разглеждане на редови вектори.

И ако искате да получите обема в класическия смисъл на думата, ще трябва да вземете детерминантния модул, но сега няма нужда да се притеснявате за това - така или иначе, след няколко секунди ще се научим как да изчисляваме детерминанта с всякакви знаци, размери и т.н. :)

Алгебрична дефиниция

Въпреки цялата красота и яснота на геометричния подход, той има сериозен недостатък: не ни казва нищо за това как да изчислим този детерминант.

Затова сега ще анализираме алтернативна дефиниция - алгебрична. За да направим това, ще ни е необходима кратка теоретична подготовка, но накрая ще получим инструмент, който ни позволява да изчисляваме каквото и както искаме в матрици.

Вярно, ще се появи там нов проблем... Но най-напред.

Пермутации и инверсии

Нека запишем числата от 1 до $n$ на ред. Ще получите нещо подобно:

Сега (само за забавление) нека разменим няколко числа. Можете да промените съседните:

Или може би - не особено съседни:

И познай какво? Нищо! В алгебрата тази глупост се нарича пермутация. И има много свойства.

Определение. Пермутация с дължина $n$ - низ от $n$ различни числа, написани в произволен ред. Обикновено се разглеждат първите $n$ естествени числа (т.е. само числата 1, 2, ..., $n$) и след това се смесват, за да се получи желаната пермутация.

Пермутациите се обозначават по същия начин като векторите - просто с буква и последователно изброяване на техните елементи в скоби. Например: $p=\left(1;3;2 \right)$ или $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Буквата може да е всякаква, но нека е $p$. :)

Освен това, за простота на представянето, ще работим с пермутации с дължина 5 - те вече са достатъчно сериозни, за да наблюдаваме всякакви подозрителни ефекти, но все още не са толкова тежки за крехък мозък като пермутации с дължина 6 или повече. Ето примери за такива пермутации:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Естествено, пермутация с дължина $n$ може да се разглежда като функция, която е дефинирана в множеството $\left\( 1;2;...;n \right\)$ и биективно преобразува това множество върху себе си. Връщайки се към току-що записаните пермутации $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ и $((p)_(3))$, можем съвсем законно да напишем:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ ляво(2 \дясно)=4;\]

Броят на различните пермутации с дължина $n$ винаги е ограничен и равен на $n!$ - това е лесно доказуем факт от комбинаториката. Например, ако искаме да запишем всички пермутации с дължина 5, тогава ще се поколебаем много, тъй като ще има такива пермутации

Една от ключовите характеристики на всяка пермутация е броят на инверсиите в нея.

Определение. Инверсия в пермутацията $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — всяка двойка $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$, така че $i \lt j$, но $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Просто казано, инверсия е, когато по-голямо число е отляво на по-малко (не непременно съседно).

Ще обозначим с $N\left(p \right)$ броя на инверсиите в пермутацията $p$, но бъдете готови да срещнете други обозначения в различни учебници и различни автори - тук няма единни стандарти. Темата за инверсиите е много обширна и на нея ще бъде посветен отделен урок. Сега нашата задача е просто да се научим как да ги броим в реални задачи.

Например, нека преброим броя на инверсиите в пермутацията $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right) ).\]

Така $N\left(p\right)=5$. Както можете да видите, няма нищо лошо в това. Ще кажа веднага: отсега нататък ще се интересуваме не толкова от самото число $N\left(p \right)$, а от неговата четност/нечетност. И тук плавно преминаваме към ключовия термин на днешния урок.

Какво е определящо

Нека е дадена квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$. Тогава:

Определение. Детерминантата на матрицата $A=\left[ n\times n \right]$ е алгебричната сума на $n!$ членове, съставени по следния начин. Всеки член е произведение на $n$ матрични елементи, взети по един от всеки ред и всяка колона, умножени по (-1) на степен на броя инверсии:

\[\ляво| A\right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Основният момент при избора на фактори за всеки термин в детерминантата е фактът, че няма два фактора, които се появяват в един и същи ред или в една и съща колона.

Благодарение на това можем да приемем без загуба на общност, че индексите $i$ на факторите $((a)_(i;j))$ „преминават“ през стойностите 1, ..., $n$ , а индексите $j$ са някаква пермутация на first:

И когато има пермутация $p$, можем лесно да изчислим инверсиите $N\left(p \right)$ - и следващият член на детерминантата е готов.

Естествено, никой не забранява размяната на фактори във всеки термин (или във всички наведнъж - защо да губите време за дреболии?), И тогава първите индекси също ще представляват някакъв вид пренареждане. Но в крайна сметка нищо няма да се промени: общият брой инверсии в индексите $i$ и $j$ запазва паритета при такива изкривявания, което е напълно в съответствие с доброто старо правило:

Пренареждането на множителите не променя произведението на числата.

Просто не свързвайте това правило с матрично умножение - за разлика от умножението на числа, то не е комутативно. Но се отклоних. :)

Матрица 2х2

Всъщност можете да разгледате и матрица 1x1 - това ще бъде една клетка и нейният детерминант, както може би се досещате, е равен на числото, записано в тази клетка. Нищо интересно.

Така че нека разгледаме квадратна матрица 2x2:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matrix) \right]\]

Тъй като броят на редовете в него е $n=2$, детерминантата ще съдържа $n!=2!=1\cdot 2=2$ члена. Нека ги запишем:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\край (подравняване)\]

Очевидно в пермутацията $\left(1;2 \right)$, състояща се от два елемента, няма инверсии, така че $N\left(1;2 \right)=0$. Но в пермутацията $\left(2;1 \right)$ има една инверсия (всъщност 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Като цяло универсалната формула за изчисляване на детерминанта за матрица 2x2 изглежда така:

\[\ляво| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( матрица) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Графично това може да бъде представено като произведението на елементите по главния диагонал минус произведението на елементите по страничния диагонал:

Нека да разгледаме няколко примера:

\[\ляво| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

Решение. Всичко се брои в един ред. Първа матрица:

И второто:

Отговор: −3; −161.

Въпреки това беше твърде просто. Да разгледаме матриците 3х3 - вече е интересно.

Матрица 3х3

Сега разгледайте квадратна матрица 3x3:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrix) \right]\]

Когато изчисляваме детерминантата му, получаваме $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ членове - не твърде много, за да се паникьосваме, но достатъчно, за да започнем да търсим някои модели. Първо, нека да напишем всички пермутации на три елемента и да преброим инверсиите във всеки от тях:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ ляво(1;2;3 \дясно)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2 \вдясно)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1 \десен)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2 \десен)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1 \вдясно)=3. \\\край (подравняване)\]

Както се очакваше, бяха изписани общо 6 пермутации: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (естествено, би било възможно да ги изпишете в различна последователност - това няма значение, ще се промени), а броят на инверсиите в тях варира от 0 до 3.

Като цяло ще имаме три члена с „плюс“ (където $N\left(p \right)$ е четно) и още три с „минус“. Като цяло детерминантата се изчислява по формулата:

\[\ляво| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\край (матрица) \right|=\begin(матрица) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrix)\]

Просто не сядайте и яростно тъпчете всички тези индекси сега! Вместо неразбираеми числа, по-добре е да запомните следното мнемонично правило:

Правило на триъгълника. За да намерите детерминантата на матрица 3x3, трябва да добавите три продукта от елементи, разположени на главния диагонал и във върховете на равнобедрени триъгълници със страна, успоредна на този диагонал, и след това да извадите същите три продукта, но на второстепенния диагонал . Схематично това изглежда така:

Детерминанта на матрица 3x3: правило на триъгълник

Именно тези триъгълници (или пентаграми, както предпочитате) хората обичат да рисуват във всякакви учебници и ръководства по алгебра. Все пак да не говорим за тъжни неща. Нека по-добре изчислим една такава детерминанта - да загреем преди истинските трудни неща. :)

Задача. Изчислете детерминантата:

\[\ляво| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

Решение. Работим по правилото на триъгълниците. Първо, нека преброим три члена, съставени от елементи на главния диагонал и успоредни на него:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

Сега нека да разгледаме страничния диагонал:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Остава само да извадим второто от първото число - и получаваме отговора:

Това е всичко!

Все пак детерминантите на 3x3 матрици все още не са върхът на умението. Най-интересните неща ни очакват по-нататък. :)

Обща схема за изчисляване на детерминанти

Както знаем, с нарастването на размерността на матрицата $n$, броят на членовете в детерминантата е $n!$ и расте бързо. Все пак факториелът не е глупост; това е сравнително бързо развиваща се функция.

Вече за 4x4 матрици директното преброяване на детерминантите (т.е. чрез пермутации) става някак не много добро. Обикновено мълча за 5x5 и повече. Следователно някои свойства на детерминантата влизат в действие, но разбирането им изисква малко теоретична подготовка.

Готов? Отивам!

Какво е матричен минор?

Нека е дадена произволна матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Забележка: не е задължително квадратна. За разлика от детерминантите, непълнолетните са толкова сладки неща, които съществуват не само в суровите квадратни матрици. Нека изберем няколко (например $k$) реда и колони в тази матрица с $1\le k\le m$ и $1\le k\le n$. Тогава:

Определение. Минор от порядък $k$ е детерминантата на квадратна матрица, възникваща в пресечната точка на избрани $k$ колони и редове. Самата тази нова матрица също ще наричаме второстепенна.

Такъв минор се означава с $((M)_(k))$. Естествено, една матрица може да има цял куп минори от порядък $k$. Ето пример за минор от порядък 2 за матрицата $\left[ 5\times 6 \right]$:

Избиране на $k = 2$ колони и редове за формиране на минор

Изобщо не е необходимо избраните редове и колони да са един до друг, както е в разгледания пример. Основното е, че броят на избраните редове и колони е еднакъв (това е числото $k$).

Има и друго определение. Може би някой ще го хареса повече:

Определение. Нека е дадена правоъгълна матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Ако след изтриване на една или повече колони и един или повече редове се формира квадратна матрица с размер $\left[ k\times k \right]$, тогава нейният детерминант е второстепенният $((M)_(k)) $ . Също така понякога ще наричаме самата матрица минор - това ще бъде ясно от контекста.

Както каза моята котка, понякога е по-добре да се върнеш от 11-ия етаж, за да ядеш храна, отколкото да мяукаш, докато седиш на балкона.

Пример. Нека матрицата е дадена

Избирайки ред 1 и колона 2, получаваме минор от първи ред:

\[((M)_(1))=\наляво| 7\надясно|=7\]

Избирайки редове 2, 3 и колони 3, 4, получаваме минор от втори ред:

\[((M)_(2))=\наляво| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrix) \right|=5-18=-13\]

И ако изберете и трите реда, както и колони 1, 2, 4, ще има минор от трети ред:

\[((M)_(3))=\наляво| \begin(matrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrix) \right|\]

За читателя няма да е трудно да намери други второстепенни от порядъци 1, 2 или 3. Затова продължаваме нататък.

Алгебрични допълнения

„Добре добре, какво ни дават тези незначителни слуги?“ - вероятно ще попитате. Сами по себе си - нищо. Но в квадратните матрици всеки минор има „придружител“ - допълнителен минор, както и алгебрично допълнение. И заедно тези два трика ще ни позволят да чупим детерминантите като ядки.

Определение. Нека е дадена квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$, в която е избран второстепенният $((M)_(k))$. Тогава допълнителният минор за минора $((M)_(k))$ е част от оригиналната матрица $A$, която ще остане след изтриването на всички редове и колони, участващи в съставянето на минора $((M)_ (k))$:

Допълнителен минор към минор $((M)_(2))$

Нека изясним една точка: допълнителен минор не е просто „част от матрицата“, а детерминанта на тази част.

Допълнителните второстепенни са обозначени със звездичка: $M_(k)^(*)$:

където операцията $A\nabla ((M)_(k))$ буквално означава „изтриване от $A$ на редовете и колоните, включени в $((M)_(k))$“. Тази операция не е общоприета в математиката - просто си я измислих сам за красотата на историята. :)

Допълнителните непълнолетни рядко се използват сами. Те са част от по-сложна конструкция - алгебрично допълнение.

Определение. Алгебричното допълнение на минор $((M)_(k))$ е допълнителният минор $M_(k)^(*)$, умножен по стойността $((\left(-1 \right))^(S ))$ , където $S$ е сумата от числата на всички редове и колони, включени в първоначалния второстепенен $((M)_(k))$.

Като правило, алгебричното допълнение на второстепенен $((M)_(k))$ се означава с $((A)_(k))$. Ето защо:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Труден? На пръв поглед да. Но не е точно така. Защото в действителност всичко е лесно. Да разгледаме един пример:

Пример. Дадена е матрица 4x4:

Нека изберем минор от втори порядък

\[((M)_(2))=\наляво| \begin(matrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrix) \right|\]

Captain Obviousness изглежда ни подсказва, че при компилирането на този минор са включени редове 1 и 4, както и колони 3 и 4. Зачеркнете ги и ще получим допълнителен минор:

Остава да се намери числото $S$ и да се получи алгебричното допълнение. Тъй като знаем броя на включените редове (1 и 4) и колони (3 и 4), всичко е просто:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Отговор: $((A)_(2))=-4$

Това е всичко! Всъщност цялата разлика между допълнителен минор и алгебрично допълнение е само в минуса отпред и дори тогава не винаги.

Теорема на Лаплас

И така стигнахме до въпроса защо всъщност бяха необходими всички тези минори и алгебрични добавки.

Теорема на Лаплас за разлагане на детерминанта. Нека $k$ реда (колони) са избрани в матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, с $1\le k\le n-1$. Тогава детерминантата на тази матрица е равна на сумата от всички продукти на минори от ред $k$, съдържащи се в избраните редове (колони) и техните алгебрични допълнения:

\[\ляво| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Нещо повече, ще има точно $C_(n)^(k)$ такива членове.

Добре, добре: относно $C_(n)^(k)$ - вече се перча, нямаше нищо подобно в оригиналната теорема на Лаплас. Но никой не е отменил комбинаториката и буквално един бърз поглед върху условието ще ви позволи да видите сами, че ще има точно толкова много термини. :)

Няма да го доказваме, въпреки че не представлява особена трудност - всички изчисления се свеждат до добрите стари пермутации и инверсии четно/нечетно. Доказателството обаче ще бъде представено в отделен параграф, а днес имаме чисто практически урок.

Следователно преминаваме към специален случай на тази теорема, когато минори са отделни клетки на матрицата.

Разлагане на детерминантата в ред и колона

Това, за което ще говорим сега, е именно основният инструмент за работа с детерминанти, в името на който започнаха всички тези глупости с пермутации, минори и алгебрични добавки.

Прочетете и се насладете:

Следствие от теоремата на Лаплас (разлагане на детерминантата в ред/колона). Нека бъде избран един ред в матрица с размер $\left[ n\times n \right]$. Малките в този ред ще бъдат $n$ отделни клетки:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Допълнителните минори също са лесни за изчисляване: просто вземете оригиналната матрица и зачеркнете реда и колоната, съдържащи $((a)_(ij))$. Нека наречем такива второстепенни $M_(ij)^(*)$.

За алгебричното допълнение все още се нуждаем от числото $S$, но в случай на минор от порядък 1 то е просто сумата от „координатите“ на клетката $((a)_(ij))$:

И тогава оригиналната детерминанта може да бъде записана чрез $((a)_(ij))$ и $M_(ij)^(*)$ съгласно теоремата на Лаплас:

\[\ляво| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Това е, което е формула за разлагане на детерминантата в ред. Но същото важи и за колоните.

От тази последица веднага могат да се направят няколко извода:

1. Тази схема работи еднакво добре както за редове, така и за колони. Всъщност най-често декомпозицията ще продължи точно по колоните, а не по редовете.
2. Броят на членовете в разширението винаги е точно $n$. Това е значително по-малко от $C_(n)^(k)$ и още повече от $n!$.
3. Вместо една детерминанта $\left[ n\times n \right]$, ще трябва да вземете предвид няколко детерминанти с един по-малък размер: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ дясно) \дясно ]$.

Последният факт е особено важен. Например, вместо бруталната детерминанта 4x4, сега ще бъде достатъчно да броим няколко детерминанти 3x3 - някак ще се справим с тях. :)

Задача. Намерете детерминантата:

\[\ляво| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrix) \right|\]

Решение. Нека разширим този детерминант по първия ред:

\[\begin(align) \left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \ляво| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \ляво| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrix) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\край (подравняване)\]

Задача. Намерете детерминантата:

\[\ляво| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|\ ]

Решение. За разнообразие, нека този път работим с колони. Например, последната колона съдържа две нули наведнъж - очевидно това значително ще намали изчисленията. Сега ще разберете защо.

И така, разширяваме детерминантата в четвъртата колона:

\[\begin(align) \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ надясно))^(2+4))\cdot \наляво| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ надясно))^(3+4))\cdot \наляво| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ надясно))^(4+4))\cdot \наляво| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right| & \\\край (подравняване)\]

И тогава - о, чудо! - два члена веднага отиват в канала, тъй като съдържат коефициент "0". Все още остават две детерминанти 3x3, с които можем лесно да се справим:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\край (подравняване)\]

Нека се върнем към източника и да намерим отговора:

\[\ляво| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Добре, всичко свърши. И не 4! = 24 термина не трябваше да се броят. :)

Отговор: −2

Основни свойства на детерминантата

В последната задача видяхме как наличието на нули в редовете (колоните) на матрицата драстично опростява декомпозицията на детерминантата и като цяло всички изчисления. Възниква естествен въпрос: възможно ли е тези нули да се появят дори в матрицата, където първоначално не са били там?

Отговорът е ясен: Мога. И тук на помощ ни идват свойствата на детерминантата:

1. Ако размените два реда (колони), детерминантата няма да се промени;
2. Ако един ред (колона) се умножи по числото $k$, тогава цялата детерминанта също ще бъде умножена по числото $k$;
3. Ако вземете един ред и го добавите (извадите) колкото пъти искате от друг, детерминантата няма да се промени;
4. Ако два реда от детерминантата са еднакви или пропорционални, или един от редовете е запълнен с нули, тогава цялата детерминанта е равна на нула;
5. Всички горни свойства са валидни и за колоните.
6. При транспониране на матрица детерминантата не се променя;
7. Детерминантата на произведението на матриците е равна на произведението на детерминантите.

Третото свойство е от особена стойност: можем извадете от един ред (колона) друг, докато нули се появят на правилните места.

Най-често изчисленията се свеждат до „нулиране“ на цялата колона навсякъде, с изключение на един елемент, и след това разширяване на детерминантата върху тази колона, получаване на матрица с размер 1 по-малък.

Нека да видим как работи това на практика:

Задача. Намерете детерминантата:

\[\ляво| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ ]

Решение. Изглежда, че тук изобщо няма нули, така че можете да „пробивите“ всеки ред или колона - количеството изчисления ще бъде приблизително същото. Нека не губим време за дреболии и да „нулираме“ първата колона: тя вече има клетка с една, така че просто вземете първия ред и го извадете 4 пъти от втория, 3 пъти от третия и 2 пъти от последния.

В резултат на това ще получим нова матрица, но детерминантата й ще бъде същата:

\[\begin(matrix) \left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrix) \right|\ начало (матрица) \стрелка надолу \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\край (матрица)= \\ =\ляво| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(матрица) \right|= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(матрица) \right| \\\край (матрица)\]

Сега, със спокойствието на Прасчо, излагаме тази детерминанта в първата колона:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|+0\cdot ((\ ляво(-1 \дясно))^(2+1))\cdot \ляво| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \right| \\\край (матрица)\]

Ясно е, че само първият термин ще „оцелее“ - дори не написах детерминантите за останалите, тъй като те все още се умножават по нула. Коефициентът пред детерминантата е равен на единица, т.е. не е нужно да го записвате.

Но можете да премахнете „минусите“ и от трите реда на определителя. По същество извадихме фактора (−1) три пъти:

\[\ляво| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\]

Получихме малка детерминанта 3x3, която вече може да се изчисли с помощта на правилото на триъгълниците. Но ще се опитаме да го разложим в първата колона - за щастие, последният ред гордо съдържа един:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrix)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right| \\\край (подравняване)\]

Можете, разбира се, все още да се забавлявате и да разширите матрицата 2x2 по ред (колона), но вие и аз сме адекватни, така че просто ще изчислим отговора:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Ето как се разбиват мечтите. Само −160 в отговора. :)

Отговор: −160.

Няколко бележки, преди да преминем към последната задача:

1. Оригиналната матрица беше симетрична по отношение на вторичния диагонал. Всички второстепенни в разширението също са симетрични по отношение на същия вторичен диагонал.
2. Строго погледнато, не бихме могли да разширим нищо, а просто да намалим матрицата до горна триъгълна форма, когато под главния диагонал има плътни нули. Тогава (между другото в строго съответствие с геометричната интерпретация) детерминантата е равна на произведението на $((a)_(ii))$ - числата на главния диагонал.

Задача. Намерете детерминантата:

\[\ляво| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|\ ]

Решение. Е, тук първият ред просто моли да бъде „нулиран“. Вземете първата колона и извадете точно веднъж от всички останали:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\ляво| \begin(matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 &​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrix) \right|= \\ & =\left| \begin(matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right| \\\край (подравняване)\]

Разгъваме по първия ред и след това изваждаме общите множители от останалите редове:

\[\cdot \left| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\]

Отново виждаме „красиви“ числа, но в първата колона - излагаме детерминантата според нея:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrix) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ надясно))^(1+1))\cdot \наляво| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( подравняване)\]

Поръчка. Проблемът е решен.

Отговор: 1440

1. Детерминантата не се променя по време на транспониране.

2. Ако един от редовете на детерминантата се състои от нули, то детерминантата е равна на нула.

3. Ако два реда в детерминантата се пренаредят, детерминантата ще промени знака.

4. Детерминанта, съдържаща два еднакви низа, е равна на нула.

5. Ако всички елементи от определен ред на детерминантата се умножат по някакво число k, то самата детерминанта ще бъде умножена по k.

6. Детерминанта, съдържаща две пропорционални прави, е равна на нула.

7. Ако всички елементи на i-тия ред на детерминантата са представени като сума от два члена a i j = b j + c j (j= ), то детерминантата е равна на сумата от детерминантите, за които всички редове, с изключение на i -ти, са същите като в дадената детерминанта, като i-тият ред в единия член се състои от елементи b j , в другия - от елементи c j .

8. Детерминантата не се променя, ако съответните елементи на друг ред се добавят към елементите на един от неговите редове, умножени по същото число.

Коментирайте.Всички свойства остават валидни, ако вземем колони вместо редове.

Незначителен M i j на елемента a i j от детерминанта d от n-ти ред се нарича детерминанта от ред n-1, която се получава от d чрез изтриване на реда и колоната, съдържащи този елемент.

Алгебрично допълнениеелемент a i j от детерминантата d се нарича неговия минор M i j , взет със знака (-1) i + j . Алгебричното допълнение на елемент a i j ще бъде означено с A i j . Така A i j = (-1) i + j M i j .

Методи за практическо изчисляване на детерминанти, основани на факта, че детерминанта от ред n може да бъде изразена чрез детерминанти от по-ниски редове, са дадени от следната теорема.

Теорема (разлагане на детерминантата в ред или колона).

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на всички елементи на нейния произволен ред (или колона) от техните алгебрични допълнения. С други думи, има разширение на d в ​​елементите на i-тия ред d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

или j-тата колона d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = ).

По-специално, ако всички освен един елемент от ред (или колона) са нула, тогава детерминантата е равна на този елемент, умножен по неговото алгебрично допълнение.

Пример 1.4.Без да се изчислява детерминантата , показват, че е равно на нула. Решение.Извадете първия ред от втория ред и получете детерминантата , равен на оригиналния. Ако също извадим първия от третия ред, получаваме определителя , в който двата реда са пропорционални. Тази детерминанта е равна на нула.

Пример 1.5.Изчислете детерминантата D = , разлагайки го на елементите на втората колона.

Решение.Нека разширим детерминантата в елементите на втората колона:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 32 A 32 =

Пример 1.6.Изчислителна детерминанта

А=
, при което всички елементи от едната страна на главния диагонал са равни на нула. Решение.Нека разширим детерминантата на A по първия ред: A = a 11 A 11 = . Детерминантата вдясно може да бъде разширена отново по първия ред, тогава получаваме:

А=
.И така нататък. След n стъпки стигаме до равенството A = a 11 a 22... a nn.

3.Основни понятия за системите линейни уравнения. Теорема на Крамър.

Определение. Система от линейни уравненияе обединение на нлинейни уравнения, всяко от които съдържа кпроменливи. Написано е така:

Мнозина, когато се сблъскват с висшата алгебра за първи път, погрешно вярват, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено се случва, но за висшата алгебра това обикновено не е вярно.

Определение. Решаване на система от уравненияе поредица от числа ( к 1 ,к 2 , ..., k n), което е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливи х 1 , х 2 , ..., x nдава правилно числово равенство.

съответно решаване на система от уравнения- означава намиране на множеството от всички негови решения или доказване, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не съвпадат, възможни са три случая:

1. Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Това е доста рядък случай, който лесно се открива, без значение какъв метод използвате за решаване на системата.

2. Системата е последователна и дефинирана, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.

3. Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се посочи, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е структуриран този набор.

Определение. Променлива x iНаречен разрешено, ако е включено само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в останалите уравнения коефициентът на променливата x iтрябва да е равно на нула.

Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща оригинална система може да бъде сведена до различни разрешени, но засега това не ни притеснява. Ето примери за разрешени системи:

И двете системи са с разрешаване на променливи х 1 , х 3 и х 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е относително разрешена х 1 , х 3 и х 5. Достатъчно е да пренапишете последното уравнение във формата х 5 = х 4 .

Сега нека да разгледаме повече общ случай. Да имаме всичко кпроменливи, от които rса разрешени. Тогава са възможни два случая:

1. Брой разрешени променливи rравен на общия брой променливи к: r = к. Получаваме системата от куравнения, в които r = кпозволени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к х 1 = b 1 , х 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Брой разрешени променливи rпо-малко от общия брой променливи к: r < к. Остатъка ( к − r) променливите се наричат ​​свободни - те могат да приемат всякакви стойности, от които лесно могат да бъдат изчислени разрешените променливи.

И така, в горните системи променливите х 2 , х 5 , х 6 (за първата система) и х 2 , х 5 (за второ) са безплатни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема...

Как да решим?: – Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместването („училищен метод”).
– Решаване на системата чрез събиране (изваждане) член по член на уравненията на системата.
– Решение на системата с помощта на формулите на Крамер.
– Решаване на системата с помощта на обратна матрица.
– Решаване на системата по метода на Гаус.

КРАМЕР

Първо, разгледайте правилото на Крамър за система от две линейни уравнения с две неизвестни. Има системи от линейни уравнения с две променливи, които е препоръчително да се решават с помощта на правилото на Крамър!

Разгледайте системата от уравнения

На първата стъпка изчисляваме детерминантата, тя се нарича основен детерминант на системата.

Ако , тогава системата има безкрайно много решения или е непоследователна (няма решения). В този случай правилото на Крамър няма да помогне, трябва да използвате Метод на Гаус.

Ако , тогава системата има уникално решение и за да намерим корените, трябва да изчислим още две детерминанти: и

На практика горните квалификатори могат да се означават и с латинска буква.

Намираме корените на уравнението с помощта на формулите:

Пример 7

Решете система от линейни уравнения

Виждаме, че коефициентите на уравнението са доста големи, от дясната страна има десетични дроби със запетая. Запетаята е доста рядък гост в практическите задачи по математика, взех тази система от иконометрична задача.

Как да се реши такава система? Можете да опитате да изразите една променлива чрез друга, но в този случай вероятно ще получите ужасни фантастични дроби, с които е изключително неудобно да се работи, а дизайнът на решението ще изглежда просто ужасно. Можете да умножите второто уравнение по 6 и да извадите член по член, но същите дроби ще се появят и тук.

Какво да правя? В такива случаи на помощ идват формулите на Креймър.

Това означава, че системата има уникално решение.

;

;

Както можете да видите, корените се оказаха ирационални и бяха намерени приблизително, което е доста приемливо (и дори обичайно) за проблемите на иконометрията.

Тук не са необходими коментари, тъй като задачата се решава с помощта на готови формули, но има едно предупреждение. Кога да използвате този метод, задължителноФрагмент от дизайна на задачата е следният фрагмент: « , което означава, че системата има уникално решение" . В противен случай рецензентът може да ви накаже за неуважение към теоремата на Крамър.

Не би било излишно да проверите, което може удобно да се извърши на калкулатор: заместваме приблизителните стойности в лявата страна на всяко уравнение на системата. В резултат на това с малка грешка трябва да получите числа, които са от дясната страна.

Формули на Крамер

Методът на Крамер се състои в последователно намиране основен детерминант на системата(5.3), т.е. детерминанта на матрица А

И n спомагателни детерминанти D i (i= ), които се получават от детерминантата D чрез заместване на i-тата колона с колона от свободни членове.

Формулите на Cramer изглеждат така:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

От (5.4) следва правилото на Крамер, което дава изчерпателен отговор на въпроса за съвместимостта на системата (5.3): ако главният детерминант на системата е различен от нула, то системата има единствено решение, което се определя от формулите:

Ако основната детерминанта на системата D и всички спомагателни детерминанти D i = 0 (i= ), то системата има безкраен брой решения. Ако основната детерминанта на системата D = 0 и поне една спомагателна детерминанта е различна от нула, тогава системата е непоследователна.

Пример 1.14. Решете системата от уравнения по метода на Крамер:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 11 x 4 = 0.

Решение.Основната детерминанта на тази система е D = = -142 ¹ 0, което означава, че системата има уникално решение. Нека изчислим спомагателните детерминанти D i (i= ), получени от детерминантата D, като заменим в нея колоната, състояща се от коефициентите на x i с колона от свободни членове: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426,

D 4 = = 142. Следователно x 1 = D 1 /D = 1, x 2 = D 2 /D = 2, x 3 = D 3 /D = 3, x 4 = D 4 /D = -1, решението на системата е вектор C =(1, 2, 3, -1) T .

Основни понятия за системите линейни уравнения. Метод на Гаус.

ВИЖ ПО-ГОРЕ.

Метод на Гаус-Джордан(метод на пълно елиминиране на неизвестни) - метод, който се използва за решаване на квадратни системи от линейни алгебрични уравнения, намиране на обратното на матрица, намиране на координатите на вектор в даден базис или намиране на ранга на матрица. Методът е модификация на метода на Гаус.

Алгоритъм

1. Изберете първата колона на матрицата отляво, която съдържа поне една ненулева стойност.

2. Ако най-горното число в тази колона е нула, тогава разменете целия първи ред на матрицата с друг ред на матрицата, където няма нула в тази колона.

3. Всички елементи на първия ред са разделени от най-горния елемент на избраната колона.

4. От останалите редове извадете първия ред, умножен по първия елемент на съответния ред, за да получите нула като първи елемент на всеки ред (с изключение на първия).

6. След еднократно повторение на тази процедура се получава горната триъгълна матрица

7. От предпоследния ред извадете последния ред, умножен по съответния коефициент, така че в предпоследния ред да остане само 1 по главния диагонал.

8. Повторете предишната стъпка за следващите редове. В резултат на това получаваме матрица на идентичност и решение на мястото на свободния вектор (необходимо е да извършим същите трансформации с него).

9. За да получите обратната матрица, трябва да приложите всички операции в същия ред към матрицата за идентичност.

Метод на Гаус

Исторически първият, най-често срещан метод за решаване на системи от линейни уравнения е методът на Гаус или методът на последователно елиминиране на неизвестни. Същността на този метод е, че чрез последователно елиминиране на неизвестни тази системасе превръща в стъпаловидна (по-специално триъгълна) система, еквивалентна на тази. При практическото решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус е по-удобно да се намали до поетапна форма не самата система от уравнения, а разширената матрица на тази система, извършвайки елементарни трансформации на нейните редове. Получените по време на трансформацията последователни матрици обикновено се свързват със знак за еквивалентност.

Пример 1.13. Решете системата от уравнения по метода на Гаус: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Решение.Нека напишем разширената матрица на тази система

и извършете следните елементарни трансформации на неговите редове: а) от втория и третия му ред извадете първия, умножен съответно по 3 и 2: ~ ;

б) умножете третия ред по (-5) и добавете втория към него: .

В резултат на всички тези трансформации тази система се свежда до триъгълна форма: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

От последното уравнение намираме z = -1,3. Замествайки тази стойност във второто уравнение, имаме y = -1,2. След това от първото уравнение получаваме x = - 0,7

ОТ ТЕТРАДКА:

Метод на Гаус

Методът се състои от две части – предна и обратна.

Директният подход е да се разшири SLN матрицата до ешалонна форма, като се използват елементарни трансформации на редове. В поетапна матрица всеки следващ ред има повече водещи нули от предишния - или е нула

Пример:

Елементарните трансформации на матрични редове са:

1) добавяне на числата от един ред на матрицата, умножени по някакво число, към един от долните редове на матрицата.

2) Разменете два реда

Обратното на метода на Гаус се състои в последователно изразяване на някои променливи по отношение на други, като се започне от долната нулева линия. Резултатът е общо решение.

След директен ход са възможни 3 варианта за стъпаловидна форма на разширената матрица:

1) Всеки следващ ред има точно една нула повече в началото от предишния

Пример:

Записваме уравнението ред по ред и започваме да намираме стойностите на променливите от долния ред.

4Х 4 =8Þ Х 4 =2

Заместете в предишното уравнение

2X 3 -3X 4 = -8 т.е. 2X 3 -3 * 2=-8 или 2X 3 =-2, Þ X 3 =-1, заместете X3 и X4 във втория ред и т.н. Получаваме единственото решение за SLU

2) Броят на ненулевите линии е по-малък от броя на променливите. Тогава един от редовете съдържа в началото нули с поне 2 повече от предишния и приемаме, че следващият ненулев ред няма формата (0...0 b), където числото b=0

Например:

3) Последният ненулев ред има формата (0...0/b), където b=0 съответства на противоречивите равенства o=b, следователно системата е несъвместима

Решаване на SLE по метода на Гаус

2X 1 +3X 2 +X 3 =1

4X 1 +5X 2 +4X 3 =7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Съставяме разширена матрица за движение напред.

Основната числена характеристика на квадратната матрица е нейната детерминанта. Помислете за квадратна матрица от втори ред

Детерминанта или детерминанта от втори ред е число, изчислено съгласно следното правило

Например,

Нека сега разгледаме квадратна матрица от трети ред

.

Детерминанта от трети ред е число, изчислено по следното правило

За да се запомни комбинацията от термини, включени в изразите за определяне на детерминанта от трети ред, те обикновено използват Правилото на Сарус: първият от трите члена, включени в дясната страна със знак плюс, е произведение на елементи, разположени на главния диагонал на матрицата, а всеки от другите два е произведение на елементи, разположени на паралел на този диагонал и елемент от срещуположния ъгъл на матрицата.

Последните три члена, включени със знак минус, се определят по подобен начин, само по отношение на вторичния диагонал.

Пример:

Основни свойства на матричните детерминанти

1. Стойността на детерминантата не се променя, когато матрицата се транспонира.

2. При пренареждане на редовете или колоните на матрицата детерминантата сменя само знака, запазвайки абсолютната стойност.

3. Детерминантата, съдържаща пропорционални редове или колони, е равна на нула.

4. Общият фактор на елементите на определен ред или колона може да бъде изваден от детерминантния знак.

5. Ако всички елементи на даден ред или колона са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.

6. Ако към елементите на отделен ред или колона от детерминанта добавим елементи от друг ред или колона, умножени по произволен неизроден фактор, тогава стойността на детерминантата няма да се промени.

НезначителенМатрицата е детерминанта, получена чрез изтриване на същия брой колони и редове от квадратна матрица.

Ако всички минори от порядък по-висок от , които могат да бъдат съставени от матрица, са равни на нула и сред минорите от порядък поне един е различен от нула, тогава числото се нарича ранг тази матрица.

Алгебрично допълнениеелемент от детерминантата на реда ще наричаме неговия второстепенен ред, получен чрез задраскване на съответния ред и колона, в пресечната точка на които има елемент, взет със знак плюс, ако сумата от индексите е равна на четно число и с знак минус в противен случай.

По този начин

,

къде е съответната второстепенна поръчка.

Изчисляване на детерминанта на матрица чрез разширяване на ред или колона

Детерминантата на матрицата е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки ред (всяка колона) на матрицата от съответните алгебрични добавки на елементите на този ред (тази колона). Когато изчислявате детерминантата на матрица по този начин, трябва да се ръководите от следното правило: изберете реда или колоната с най-голям брой нулеви елементи. Тази техника ви позволява значително да намалите количеството на изчисленията.

Пример: .

При изчисляването на този детерминант използвахме техниката на разлагането му на елементите на първата колона. Както може да се види от горната формула, няма нужда да се изчислява последната от детерминантите от втори ред, т.к. тя се умножава по нула.

Изчисляване на обратната матрица

При решаване на матрични уравнения широко се използва обратната матрица. До известна степен той замества операцията деление, която не присъства изрично в алгебрата на матриците.

Квадратни матрици от един и същи ред, чийто продукт дава единичната матрица, се наричат ​​реципрочни или обратни. Означава се обратната матрица и за нея важи следното:

Възможно е да се изчисли обратната матрица само за матрица, за която .

Класически алгоритъм за изчисляване на обратната матрица

1. Запишете матрицата, транспонирана към матрицата.

2. Заменете всеки елемент от матрицата с детерминанта, получена чрез задраскване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира този елемент.

3. Тази детерминанта се придружава от знак плюс, ако сумата от индексите на елемента е четна, и знак минус в противен случай.

4. Разделете получената матрица на детерминантата на матрицата.