Бройни системи: теория. Аритметични действия в различни операции с числа в бройната система

защото В двоичната бройна система при запис на числата се използват само 2 цифри - 0 и 1, което означава, че при събиране на 1 + 1 0 се записва в най-младата цифра, а 1 отива в най-значимата цифра.

По аналогия с 10-ss: 9 + 1 (числото десет не е в обозначението на числата), 0 и 1 се записват в най-значимата цифра, което води до 10.

Примери

1) Нека съберем 10110 2 и 111011 2 в колона. Тези отгоре показват пренасяне от предишната цифра:

2) Извършете събиране за следните двоични числа:

3) Съберете числата: 10000000100 2 + 111000010 2 и проверете

10000000100 2 + 111000010 2 = 10111000110 2 .

Нека проверим резултатите от изчислението, като преобразуваме в десетичната бройна система. За да направим това, ще преобразуваме всеки член и сума в десетичната бройна система и ще извършим събирането на членовете в десетичната бройна система. Резултатът трябва да съответства на сумата.

10000000100 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 2 = 1024 + 4 = 1028 10

111000010 2 = 1× 2 8 + 1× 2 7 + 1× 2 6 + 1 × 2 1 = 256 + 128 + 64 + 2 = 450 10

10111000110 2 = 1 × 2 10 + 1 × 2 8 + 1 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 =

1024 + 256 + 128 + 64 + 4 + 2 =1478 10

1028 10 + 450 10 =1478 10 .

Резултатите са същите, следователно изчисленията в двоичната бройна система са извършени правилно.

Осмични числа

Таблица за събиране на осмични числа

Когато изчислявате в осмичната система, трябва да запомните, че максималната цифра е 7. Пренасяне по време на добавяне възниква, когато сумата в следващата цифра е по-голяма от 7. Заем от най-високата цифра е равен на 10 8 = 8 и всички „междинни“ цифри се попълват с числото 7 - най-високата цифра на числовата система.

Пример

1) В примера записът 1⋅8 + 2 означава, че резултатът е сбор, по-голям от 7, който не се побира в една цифра. Единият отива в пренос, а двамата остават в тази категория.

2) Извършете събиране 223,2 8 + 427,54 8 и проверете получените резултати.

223,2 8 + 427,54 8 = 652,74 8 .

Нека проверим резултатите от изчислението, като преобразуваме в десетичната бройна система:

223,2 8 = 2 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1 = 128 + 16 + 3 + 0,25 =

427,54 8 = 4 × 8 2 + 2 × 8 1 + 7 × 8 0 + 5 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

256 + 16 + 7 + 0,625 + 0,0625= 279,6875 10

652,74 8 = 6 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 7 × 8 -1 + 4 × 8 -2 =

384 + 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 426,9375 10

147,25 10 + 279,6875 10 =426,9375 10

Резултатите са същите, следователно изчисленията в осмичната бройна система са извършени правилно.

Шестнадесетични числа

Шестнадесетична таблица за събиране

Когато извършвате събиране, трябва да запомните, че в система с основа 16 се появява пренасяне, когато сумата в следващата цифра надвиши 15. Удобно е първо да пренапишете оригиналните числа, като замените всички букви с техните цифрови стойности.

Примери

2) Извършете събирането 3B3,6 16 + 38B,4 16 и проверете

3B3,6 16 + 38B,4 16 = 73E,A 16.

Да проверим:

3B3.6 16 = 3 × 16 2 + 11 × 16 1 + 3 × 16 0 + 6 × 16 -1 = 768 + 176 +

3 + 0,375 = 947,375 10

38B.4 16 = 3 × 16 2 + 8 × 16 1 + 11 × 16 0 + 4 × 16 -1 = 768 + 128 +

11 + 0,25 = 907,25 10

73E,A 16 = 7 × 8 2 + 3 × 8 1 + 14 × 8 0 + 10 × 8 -1 = = 1792 + 48 + 14 + 0,625 = 1854,625 10

947,375 10 + 907,25 10 = 1854,625 10 .

Резултатите са същите, следователно изчисленията в шестнадесетичната бройна система са извършени правилно.

Изваждане

Двоични числа

Изваждането се извършва почти по същия начин, както в десетичната система. Ето основните правила:

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 10 2 – 1 = 1.

В последния случай трябва да изтеглите кредит от предходната категория.

Изваждането се извършва по аналогия с десетичната бройна система.

За да разберем принципа, нека временно се върнем към десетичната система. Извадете числото 9 от числото 21:

Тъй като 9 не може да се извади от 1, трябва да вземете заем от предишната цифра, която съдържа 2. В резултат на това 10 се добавя към младшата цифра, а в следващите 2 се намалява до 1. Сега можете да извадите: 1 + 10 – 9 = 2. В горната цифра извадете нула от останалата единица:

По-сложен случай е заем от далечна (не близка) категория. Нека извадим 9 от 2001. В този случай не е възможно да вземем назаем от най-близката цифра (има 0), така че вземаме заем от цифрата, където е числото 2. В резултат на това всички междинни цифри са запълнени с числото 9, това е най-високата цифра от десетичната бройна система:

В двоичната бройна система при вземане на заем към „работната“ цифра се добавя не 10, а 102 = 2 (основата на бройната система) и всички „междинни“ цифри (между „работната“ и откъдето е взет заемът) се попълват не с деветки, а с единици (най-значимата цифра на числовата система).

Примери

Ако трябва да извадите по-голямо число от по-малко, извадете по-малкото число от по-голямото и поставете знак минус върху резултата:

3) 4)

Осмични числа

1)

При изваждане „– 1” означава, че преди е имало заем от тази категория (стойността му намалява с 1), а „+ 8” означава заем от следващата категория.

2) Изваждане

Шестнадесетични числа

При изваждане заемът от най-високата цифра е равен на 10 16 = 16, а всички „междинни“ цифри се попълват с числото F - най-високата цифра на числовата система.

Например,

1)

2)

Умножение

Двоични числа

Умножението и дългото деление в двоичната система се извършват почти по същия начин както в десетичната система (но с помощта на правилата за двоично събиране и изваждане).

Например ,

1) 2)

Осмични числа

Осмична таблица за умножение

С помощта на осмичната таблица за умножение, по същите правила, които важат в десетичната бройна система, се извършва умножение и деление на осмични многоцифрени числа.

Пример

Шестнадесетични числа

Таблица за умножение

Пример

дивизияотделно в десетичната система, тъй като за числата от 0 до 7 тяхното осмично записване съвпада с десетичното);

3) Сгънете

Решение (чрез шестнадесетичен):

1) (първо преобразуван в двоичната система, след това двоичният запис на числото е разделен на тетради от дясно на ляво, всяка тетрада беше преобразувана в шестнадесетична; в този случай тетрадите могат да бъдат преобразувани от двоичната система в десетичен знаки след това заменете всички числа, по-големи от 9 с букви - A, B, C, D, E, F);

2) , няма нужда да прехвърляте никъде;

3) сгъване

4) конвертирайте всички отговори в шестнадесетичен:

121 8 = 001 010 001 2 = 0101 0001 2 = 51 16 (преведено в двоична система от триади, разделено на тетради от дясно на ляво, всяка тетрада е преведена отделнов десетичната система всички числа, по-големи от 9, бяха заменени с букви - A, B, C, D, E, F).

171 2 = 001 111 001 2 = 0111 1001 2 = 79 16 ,

69 16, няма нужда от превод

1000001 2 = 0100 0001 2 = 41 16 .

Бройни системи.

Бройна системанаричайте набор от символи (цифри) и правилата за тяхното използване за представяне на числа.

Има позиционни и непозиционни бройни системи.

INнепозиционни номера на системното тегло(т.е. приносът, който прави към стойността на числото) не зависи от нейната позициякато напишете номера. Така в римската бройна система в числото XXXII (тридесет и две) теглото на числото X във всяка позиция е просто десет.

INпозиционен системимъртво разчитане теглото на всяка цифра се променя в зависимост от нейната позиция(позиции) в поредица от цифри, представляващи число. Например в числото 757.7 първата седем означава 7 стотни, втората - 7 единици, а третата - 7 десети от единицата.

Самият запис на числото 757.7 означава съкратен запис на израза

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 + 7 10 -1 = 757,7.

Всяка позиционна бройна система се характеризира със своята база.

Основата на позиционната бройна системае броят на различните знаци или символи, използвани за представяне на числа в дадена система.

Възможни са безброй позиционни системи: двоичен, троичен, четвъртичен и др. Записване на числата във всяка бройна система с основа розначава съкратен израз

а n-1 р n-1 +a n-2 р n-2 + ... +а 1 р 1 +a 0 р 0 +a -1 р -1 + ... + а - м р - м , Където а аз – числа от бройната система; н И м – броят съответно на целите и дробните цифри.

Например:

В допълнение към десетичните, системите с основа са цяло мощност на 2, именно:

двоичен(използват се цифри 0, 1);

осмичен(използват се цифри 0, 1, ..., 7);

шестнадесетичен(за първите цели числа от нула до девет се използват числата 0, 1, ..., 9, а за следващите числа - от десет до петнадесет - се използват символите A, B, C, D, E, F като числа).

Полезно е да запомните нотацията в тези бройни системи за първите две десетки цели числа:

От всички бройни системи особено простои следователно Двоичната бройна система е интересна за техническа реализация в компютрите.

Превод осмичен И шестнадесетичен числа към двоична система много просто: просто заменете всяка цифра с нейния двоичен еквивалент триада (три цифри) или тетрадка (четири цифри).

Например:

За да конвертирате число от двоиченсистеми в осмиченили шестнадесетичен, трябва да се раздели отляво и отдясно на десетичната запетая на триади(за осмично) или тетради(за шестнадесетичен) и заменете всяка такава група със съответната осмична (шестнадесетична) цифра.

Например,

При превода на целия десетичен знак числа в система с основа ртрябва да е последователно разделям На рдокато има остатък по-малък или равен на q–1. Номер в основната система рсе записва като последователност от остатъци от деление, записани в обратен ред, започвайки с най-новия.

Пример:Преобразувайте числото 75 от десетично в двоично, осмично и шестнадесетично:

Отговор: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

При преобразуване на числа от двоичен (осмична, шестнадесетична) система в десетичен знак Това число трябва да бъде представено като сбор от степените на основата на неговата бройна система.

примери:

Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи правила. За да извършите аритметични операции с числа, представени в различни бройни системи, е необходимо първо да ги преобразувате в една бройна система и да вземете предвид факта, че прехвърлянето към следващата цифра по време на операцията на добавяне и заемането от най-високата цифра по време на операция изваждане се определят от стойността на основата на бройната система.

Аритметичните операции в двоичната бройна система се основават на таблици за събиране, изваждане и умножение на едноцифрени двоични числа.

При събиране на две единици цифрата се прехвърля в най-високата цифра, при изваждане на 0–1 се прави заем от най-високата цифра в таблицата „Изваждане“, като тази заемка се обозначава с черта над номер (Таблица 3).

Таблица 3

По-долу са дадени примери за извършване на аритметични операции с числа, представени в различни бройни системи:

Аритметичните операции с цели числа, представени в различни бройни системи, се изпълняват доста просто с помощта на програмите Calculator и MS Excel.

1.3. Представяне на числа в компютър

Числените данни се обработват в компютър с двоична бройна система. Числата се съхраняват в паметта на компютъра в двоичен код, тоест като поредица от нули и единици, и могат да бъдат представени във формат с фиксирана или плаваща запетая.

Целите числа се съхраняват в паметта във формат с фиксирана точка. С този формат за представяне на числа, регистър на паметта, състоящ се от осем клетки на паметта (8 бита), се разпределя за съхраняване на неотрицателни цели числа. Всяка цифра от клетка от паметта винаги съответства на една и съща цифра от числото, а запетаята се намира вдясно след най-малката цифра и извън цифровата мрежа. Например числото 110011012 ще бъде съхранено в регистър на паметта, както следва:

Таблица 4

Максималната стойност на неотрицателно цяло число, което може да бъде съхранено в регистър във формат с фиксирана запетая, може да се определи от формулата: 2n – 1, където n е броят на цифрите на числото. Максималното число ще бъде равно на 28 - 1 = 25510 = 111111112, а минималното 010 = 000000002. Така обхватът на промените в неотрицателните цели числа ще бъде от 0 до 25510.

За разлика от десетичната система, двоичната бройна система в компютърното представяне на двоично число няма символи, указващи знака на числото: положителен (+) или отрицателен (-), следователно, за представяне на цели числа със знак в двоичната система, две използват се формати за представяне на числа: формат на числова стойност със знак и формат на допълнение към две. В първия случай два регистъра на паметта (16 бита) се разпределят за съхраняване на цели числа със знак и най-значимата цифра (най-лявата) се използва като знак на числото: ако числото е положително, тогава 0 се записва в бита за знак , ако числото е отрицателно, тогава 1. Например числото 53610 = 00000010000110002 ще бъде представено в регистрите на паметта в следната форма:

Таблица 5

и отрицателно число -53610 = 10000010000110002 във вида:

Таблица 6

Максималното положително число или минималното отрицателно число във формат на числова стойност със знак (като се вземе предвид представянето на една цифра на знак) е 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 и диапазонът от числа ще бъде от - 3276710 до 32767.

Най-често за представяне на цели числа със знак в двоичната система се използва кодовият формат на двата комплемента, който ви позволява да замените аритметичната операция за изваждане в компютър с операция за добавяне, което значително опростява структурата на микропроцесора и увеличава неговата производителност .

За представяне на отрицателни цели числа в този формат се използва код за допълване на две, който е модулът на отрицателно число към нула. Преобразуване на отрицателно цяло число в допълнителен кодизвършва чрез следните операции:

1) запишете модула на числото в директен код в n (n = 16) двоични цифри;

2) вземете обратния код на числото (обърнете всички цифри на числото, т.е. заменете всички единици с нули, а нулите с единици);

3) добавете единица към най-малката цифра към получения обратен код.

Например за числото -53610 в този формат модулът ще бъде 00000010000110002, реципрочният код ще бъде 1111110111100111, а допълнителният код ще бъде 1111110111101000.

Трябва да се помни, че допълнението на положително число е самото число.

За съхраняване на цели числа със знак, различни от 16-битовото компютърно представяне, когато се използва два регистъра на паметта(този числов формат се нарича още формат на цяло число с кратък знак), се използват целочислени формати със среден и дълъг знак. За представяне на числа в среден числови формат се използват четири регистъра (4 x 8 = 32 бита), а за представяне на числа в дълъг числов формат се използват осем регистъра (8 x 8 = 64 бита). Диапазоните на стойностите за средните и дългите числови формати ще бъдат съответно: -(231 – 1) ... + 231 – 1 и -(263-1) ... + 263 – 1.

Компютърното представяне на числа във формат с фиксирана точка има своите предимства и недостатъци. ДА СЕ Ползивключват простотата на представяне на числата и алгоритмите за изпълнение на аритметични операции; недостатъците са крайният диапазон на представяне на числата, който може да бъде недостатъчен за решаване на много задачи от практическо естество (математически, икономически, физически и др.).

Реалните числа (крайни и безкрайни десетични знаци) се обработват и съхраняват в компютър във формат с плаваща запетая. С този формат за представяне на числа позицията на десетичната запетая в записа може да се промени. Всяко реално число K във формат с плаваща запетая може да бъде представено като:

където A е мантисата на числото; h – основа на бройната система; p – ред на числата.

Изразът (2.7) за десетичната бройна система ще приеме формата:

за двоичен -

за осмично -

за шестнадесетичен -

Тази форма на представяне на числата се нарича още нормално . При промяна на реда запетаята в числото се измества, тоест изглежда, че плава наляво или надясно. Следователно нормалната форма на представяне на числата се нарича форма с плаваща запетая. Десетичното число 15,5, например, във формат с плаваща запетая може да бъде представено като: 0,155 102; 1,55 101; 15,5 100; 155.0 10-1; 1550.0 10-2 и т.н. Тази форма на десетична запетая с плаваща запетая 15.5 не се използва при писане компютърни програмии въвеждането им в компютър (компютърните входни устройства възприемат само линеен запис на данни). Въз основа на това израз (2.7) за представяне на десетични числа и въвеждането им в компютъра се преобразува във формата

където P е редът на числото,

т.е., вместо основата на бройната система 10, те пишат буквата E, вместо запетая, точка, а знакът за умножение не се поставя. По този начин числото 15.5 в плаваща запетая и линеен формат (компютърно представяне) ще бъде записано като: 0.155E2; 1.55E1; 15.5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2 и др.

Независимо от бройната система всяко число във форма с плаваща запетая може да бъде представено с безкраен брой числа. Тази форма на запис се нарича ненормализиран . За еднозначно представяне на числа с плаваща запетая се използва нормализирана форма на запис на число, при която мантисата на числото трябва да отговаря на условието

където |A| - абсолютната стойност на мантисата на числото.

Условието (2.9) означава, че мантисата трябва да е правилна дроб и да има ненулева цифра след десетичната запетая или, с други думи, ако мантисата няма нула след десетичната запетая, тогава числото се нарича нормализирано . И така, числото 15,5 в нормализирана форма (нормализирана мантиса) във форма с плаваща запетая ще изглежда така: 0,155 102, т.е. нормализираната мантиса ще бъде A = 0,155 и ред P = 2, или в компютърното представяне на числото 0,155E2.

Числата с плаваща запетая имат фиксиран формат и заемат четири (32 бита) или осем байта (64 бита) компютърна памет. Ако едно число заема 32 бита в паметта на компютъра, то е число с нормална точност; ако е 64 бита, то е число с двойна точност. Когато записвате число с плаваща запетая, битовете се разпределят за съхраняване на знака на мантисата, знака на експонентата, мантисата и експонентата. Броят на цифрите, разпределени за реда на числото, определя обхвата на вариация на числата, а броят на цифрите, разпределени за съхраняване на мантисата, определя точността, с която е посочено числото.

При извършване на аритметични операции (събиране и изваждане) с числа, представени във формат с плаваща запетая, се прилага следната процедура (алгоритъм):

1) редът на числата, върху които се извършват аритметични операции, е подравнен (редът на по-малкото абсолютно число се увеличава до порядъка на по-голямото абсолютно число, докато мантисата намалява със същото количество);

2) извършват се аритметични операции върху мантисите на числата;

3) полученият резултат се нормализира.

Нека да разгледаме основните аритметични операции: събиране, изваждане, умножение и деление.Правилата за извършване на тези операции в десетичната система са добре известни - това са събиране, изваждане, умножение по колона и деление по ъгъл. Тези правила важат за всички други позиционни бройни системи. Просто трябва да използвате специални таблици за събиране и умножение за всяка система.

1. Добавяне

Таблиците за добавяне се създават лесно с помощта на правила за броене.

При събиране числата се сумират по цифри, а ако има излишък се прехвърля вляво.

Пример 1. Нека съберем числата 15 и 6 в различни бройни системи.

Пример 2. Нека съберем числата 15, 7 и 3.

Пример 3. Нека съберем числата 141,5 и 59,75.

Отговор: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Преглед. Преобразувайте получените суми в десетична форма:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Изваждане

Заемстарши звена

Пример 4. Извадете едно от числата 10 2 , 10 8 и 10 16

Пример 5. Извадете едно от числата 100 2 , 100 8 и 100 16 .

Пример 6. Извадете числото 59,75 от числото 201,25.

Отговор: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16.

Преглед. Нека преобразуваме получените разлики в десетична форма:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D, 8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Бройни системи

Бройна система –набор от техники и правила за писане на числа в цифрови знаци или символи.

Всички бройни системи могат да бъдат разделени на два класа: позиционенИ непозиционни. В класа на позиционните системи редица знаци, които се различават един от друг, се използват за записване на числа в различни бройни системи. Броят на такива знаци в позиционната бройна система се нарича основата на бройната система.По-долу е дадена таблица, съдържаща имената на някои позиционни бройни системи и списък със знаци (цифри), от които се формират числата в тях.

Някои бройни системи

В позиционна бройна система на относителната позиция на цифра в число се приписва коефициент на тежест и числото може да бъде представено като сума от произведенията на коефициентите по съответната степен на основата на системата с числа (коефициент на тежест ):

A n А n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(знакът „,“ разделя цялата част на числото от дробната част. По този начин значението на всеки знак в числото зависи от позицията, която знакът заема в записа на числото. Ето защо такива бройни системи се наричат ​​позиционни ).

Позиционна бройна система е система, при която размерът на числото се определя от стойностите на включените в него цифри и тяхната относителна позиция в числото.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Десетичният индекс в долната част показва основата на бройната система.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Когато работите с компютри, трябва да използвате паралелно няколко позиционни бройни системи (най-често двоична, десетична, осмична и шестнадесетична), така че процедурите за преобразуване на числата от една бройна система в друга са от голямо практическо значение. Обърнете внимание, че във всички горни примери резултатът е десетично число и по този начин методът за преобразуване на числа от всяка позиционна бройна система в десетична вече е демонстриран.

IN общ случайЗа да преобразувате цяла част от число от десетичната система в система с основа B, трябва да я разделите на B. Остатъкът ще даде най-малката цифра на числото. Полученото частно трябва отново да се раздели на B - остатъкът ще даде следващата цифра на числото и т.н. Деленията продължават, докато частното стане по-малко от основата. Стойностите на получените остатъци, взети в обратен ред, образуват желаното двоично число.

Пример за превод на цяла част:Преобразувайте 25 10 в двоично число.

25/2 = 12 с остатък 1,

12/2 = 6 с остатък 0,

6/2 = 3 с остатък 0,

Цялата и дробната част се превеждат отделно. За да преобразувате дробната част, тя трябва да бъде умножена по B. Цялата част от получения продукт ще бъде първата цифра (след десетичната запетая, разделяща цялата част от дробната част). Дробната част на продукта трябва да се умножи отново по B. Цялата част от полученото число ще бъде следващият знак и т.н.

За да конвертирате дробна част (или число, което има „0“ цели числа), трябва да я умножите по 2. Цялата част от продукта ще бъде първата цифра на числото в двоичната система. След това, като изхвърлим цялата част от резултата, умножаваме отново по 2 и т.н. Имайте предвид, че една крайна десетична дроб може да се превърне в безкрайна (периодична) двоична дроб.

Пример за преобразуване на дробна част:Преобразувайте 0,73 10 в двоично число.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (цяло число 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (цяла част 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (цяло число 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (цяла част 1) и т.н.

Така: 0,73 10 = 0,1011 2.

Могат да се извършват различни аритметични операции с числа, записани във всяка бройна система. Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи правила, които са ви добре познати.

Помислете за добавяне на две числа към основа десет:

При събиране на числата 6 и 7 резултатът може да бъде представен като израза 10 + 3, където 10 е пълната основа за десетичната бройна система. Заменете 10 (база) с 1 и заменете отляво на числото 3. Получаваме:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Помислете за добавяне на две числа с основа осем:

При събиране на числата 6 и 7 резултатът може да бъде представен като израза 8 + 5, където 8 е пълната основа за осмичната бройна система. Заменете 8 (база) с 1 и заменете отляво на числото 5. Получаваме:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Помислете за добавяне на две големи числа към основа осем:

Добавянето започва от най-малката цифра. И така, представяме 4 8 + 6 8 като 8 (основа) + 2. Заменете 8 (основа) с 1 и добавете тази единица към цифрите от висок ред. След това добавяме следните цифри: 5 8 + 3 8 + 1 8, представяме го като 8 + 1, заместваме 8 (база) с 1 и го добавяме към най-значимата цифра. След това представяме 2 8 + 7 8 + 1 8 като 8 (основа) + 2, заместваме 8 (основа) с 1 и го заместваме отляво на полученото число (в позицията на най-значимата цифра). Така се оказва:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Другите аритметични операции (изваждане, умножение и деление) се извършват по подобен начин в различни бройни системи.

Нека разгледаме умножението в „колона“, използвайки примера на две числа от двоичната система:

11101 2 101 2

Изписваме числата едно под друго, в съответствие с ранговете. След това извършваме побитово умножение на втория фактор с първия и го записваме с изместване наляво, точно както при умножаване на десетични числа. Остава да добавите „изместените“ числа, като вземете предвид основата на числата в такъв случайдвоичен.

Нека преобразуваме резултата в основа 16.

Във втората цифра представяме 29 като 16 (база) и 13 (D). Нека заменим 16 (база) с 1 и да го добавим към най-значимата цифра.

В третата цифра 96 + 1 = 97. След това си представете 97 като 6 16 (основа) и 1. Добавете 6 към най-високата цифра.

В четвъртата цифра 20 + 6 = 26. Нека си представим 26 като 16 (основа) и 10 (A). Преместваме единицата до най-високата цифра.

С определени умения за работа с различни бройни системи, записът може веднага да се представи като

Така A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

От гледна точка на изучаването на принципите на представяне и обработка на информация в компютъра, обсъжданите системи (двоична, осмична и шестнадесетична) представляват голям интерес, въпреки че компютърът обработва данни само преобразувани в двоичен код (двоична бройна система). Често обаче, за да се намали броят на знаците, написани на хартия или въведени от клавиатурата на компютъра, е по-удобно да се използват осмични или шестнадесетични числа, особено след като, както ще бъде показано по-долу, процедурата за взаимно преобразуване на числа от всеки от тези системи в двоична е много проста - много по-проста от транслацията между която и да е от тези три системи и десетичната.

Нека представим числата на различни бройни системи, съответстващи една на друга:

Таблицата показва, че числата на системата с основа 2, 8 и 16 имат периодичен модел. По този начин осемте стойности на осмичната система, т.е. (от 0 до 7 или пълната база) съответстват на три цифри ( триади) двоична система. По този начин, за да се опишат числата на една цифра от осмичната система, са необходими точно три цифри от двоичната система. Същото важи и за шестнадесетичните числа. Само тяхното описание изисква точно четири цифри ( тетради) двоична система.

От това следва, че за да преобразувате което и да е цяло двоично число в осмично, трябва да го разделите отдясно наляво на групи от 3 цифри (най-лявата група може да съдържа по-малко от три двоични цифри) и след това да присвоите на всяка група нейния осмичен еквивалент.

Например, трябва да конвертирате 11011001 2 в осмично.

Разделяме числото на групи от три цифри 011 2, 011 2 и 001 2. Заменяме съответните числа на осмичната система. Получаваме 3 8, 3 8 и 1 8 или 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Обратните трансфери се извършват по подобен начин, например:

Преобразувайте AB5D 16 в двоична бройна система.

Един по един заместваме всеки символ на числото AB5D 16 със съответното число от двоичната система. Получаваме 1010 16, 1011 16, 0101 16 и 1101 16 или 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

В допълнение към разгледаните по-горе позиционни бройни системи има и такива, при които значението на знака не зависи от мястото, което заема в числото. Такива бройни системи се наричат непозиционни. Най-известният пример за непозиционна система е римски. Тази система използва 7 знака (I, V, X, L, C, D, M), които съответстват на следните стойности:

Правила за записване на числата с римски цифри: – ако по-голямо число стои пред по-малко, тогава те се събират (принципът на събиране), – ако по-малко число стои пред по-голямо, тогава по-малкото се изважда от по-голямото ( принцип на изваждане).

Второто правило се използва, за да се избегне повтарянето на едно и също число четири пъти. Така римските цифри I, X, C се поставят съответно преди X, C, M, за да обозначат 9, 90, 900 или преди V, L, D, за да посочат 4, 40, 400.

Примери за писане на числа с римски цифри:

IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.н.

Трябва да се отбележи, че извършването дори просто аритметични операцииРимските цифри са много неудобни за многоцифрени числа. Вероятно сложността на изчисленията в римската система, основана на използването на латински букви, е била една от убедителните причини за замяната й с по-удобна десетична система.

3.1 Основата на бройната система се нарича...

Набор от техники и правила за писане на числа в цифрови знаци или символи

Брой цифри, използвани в конкретна позиционна бройна система

Делител, използван при преобразуване на числа от една бройна система в друга

Общ фактор при преобразуване на числа от една бройна система в друга

3.2 Коя бройна система не е намерена? широко приложение V компютърна технология

осмичен

Двоичен

Петкратно

Шестнадесетичен