Импулсен спектър на веригата. Преходна характеристика. Импулсен отговор. Импулсни характеристики на електрически вериги Реакция на веригата на делта функцията

Интеграл на Дюамел.

Познаването на реакцията на веригата към едно смущаващо въздействие, т.е. функция за преходна проводимост и/или функция за преходно напрежение, можете да намерите реакцията на веригата към влияние с произволна форма. Методът, изчислителният метод, използващ интеграла на Дюамел, се основава на принципа на суперпозицията.

Когато се използва интегралът на Дюамел за разделяне на променливата, върху която се извършва интегрирането, и променливата, която определя момента от време, в който се определя токът във веригата, първата обикновено се означава като , а втората като t.

Нека в момента към веригата с нулеви начални условия (пасивна двутерминална мрежа PDна фиг. 1) е свързан източник с напрежение с произволна форма. За да намерим тока във веригата, заменяме оригиналната крива с една стъпка (виж фиг. 2), след което, като вземем предвид, че веригата е линейна, сумираме токовете от първоначалния скок на напрежението и всички стъпки на напрежението до момент t, които влизат в сила със закъснение.

В момента t компонентът общ ток, определено от началния скок на напрежението, е равно на .

В момента има скок на напрежението , който, като вземе предвид интервала от време от началото на скока до интересуващата времева точка t, ще определи текущия компонент.

Общият ток в момент t очевидно е равен на сумата от всички компоненти на тока от отделни пренапрежения на напрежението, като се вземе предвид , т.е.

Замяната на крайния времеви интервал на нарастване с безкрайно малък, т.е. преминавайки от сумата към интеграла, пишем

.

(1)

Отношението (1) се нарича Интеграл на Дюамел.

Трябва да се отбележи, че напрежението може да се определи и с помощта на интеграла на Дюамел. В този случай, вместо преходната проводимост, (1) ще включва функцията на преходното напрежение.

Използване на последователност на изчисление
Интеграл на Дюамел

Като пример за използване на интеграла на Дюамел, ние определяме тока във веригата на фиг. 3, изчислен в предишната лекция по формулата за включване.

Изходни данни за изчисление: , , .

1. Преходна проводимост

.

18. Трансферна функция.

Отношението на оператора на влияние към неговия собствен оператор се нарича трансферна функция или трансферна функция в операторна форма.

Връзка, описана с уравнение или уравнения в символна или операторна форма, може да се характеризира с две трансферни функции: трансферна функция за входната стойност u; и предавателната функция за входното количество f.

И

Използвайки трансферни функции, уравнението се записва като . Това уравнение е условна, по-компактна форма на запис на оригиналното уравнение.

Наред с трансферната функция в операторна форма широко се използва трансферната функция под формата на изображения на Лаплас.

Трансферните функции под формата на изображения на Лаплас и формата на оператора съвпадат с точност до нотация. Трансферната функция във формата, изображения на Лаплас може да се получи от трансферната функция в операторна форма, ако в последната се направи заместването p=s. IN общ случайтова следва от факта, че диференцирането на оригинала - символното умножение на оригинала по p - при нулеви начални условия съответства на умножаването на изображението с комплексно число s.

Приликата между трансферните функции под формата на образа на Лаплас и в операторната форма е чисто външна и се среща само в случай на стационарни връзки (системи), т.е. само при нулеви начални условия.

Нека разгледаме проста RLC (серия) верига, нейната трансферна функция W(p)=U OUT /U IN

Интеграл на Фурие.

функция f(х), определен върху цялата числова ос се нарича периодичен, ако има число, такова че за всяка стойност хима равенство . Номер TНаречен период на функцията.

Нека отбележим някои свойства на тази функция:

1) Сбор, разлика, произведение и частно на периодичните функции на периода Tе периодична функция на периода T.

2) Ако функцията f(х) Период T, след това функцията f(брадва) има период.

3) Ако f(х) - периодична функция на периода T, тогава всеки два интеграла на тази функция, взети върху интервали с дължина T(в този случай интегралът съществува), т.е. за всяко аИ bравенството е вярно .

Тригонометрични серии. Редица на Фурие

Ако f(х) се разширява върху отсечка в равномерно сходяща се тригонометрична серия: (1)

Тогава това разширение е уникално и коефициентите се определят по формулите:

Където н=1,2, . . .

Тригонометрични редове (1) от разглеждания тип с коефициенти се наричат тригонометричен ред на Фурие.

Сложна форма на реда на Фурие

Изразът се нарича сложна форма на реда на Фурие на функцията f(х), ако е дефинирано от равенство

, Където

Преходът от серията на Фурие в сложна форма към серията в реална форма и обратно се извършва по формулите:

(н=1,2, . . .)

Интегралът на Фурие на функция f(x) е интеграл от формата:

, Където .

Честотни функции.

Ако приложите към входа на система с предавателна функция W(p)хармоничен сигнал

тогава след приключване на преходния процес на изхода ще се установят хармонични трептения

с еднаква честота, но различна амплитуда и фаза, в зависимост от честотата на смущаващото въздействие. По тях може да се съди за динамичните свойства на системата. Наричат ​​се зависимости, свързващи амплитудата и фазата на изходния сигнал с честотата на входния сигнал честотни характеристики(CH). Нарича се анализ на честотната характеристика на система с цел изследване на нейните динамични свойства честотен анализ.

Нека заместим изразите за u(t)И y(t)в уравнението на динамиката

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Нека вземем предвид това

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Подобни зависимости могат да бъдат записани за лявата страна на уравнението. Получаваме:

По аналогия с трансферната функция можем да запишем:

W(j), равно на съотношението на изходния сигнал към входния сигнал, когато входният сигнал се променя според хармоничния закон, се нарича честотна трансферна функция. Лесно е да се види, че може да се получи чрез просто заместване на p с j в израза W(p).

W(j) е сложна функция, следователно:

където P() - реална честотна характеристика (RFC); Q() - въображаема честотна характеристика (ICH); A() - амплитудна честотна характеристика (AFC): () - фазова честотна характеристика (PFC). Честотната характеристика дава съотношението на амплитудите на изходния и входния сигнал, фазовата характеристика дава фазовото изместване на изходното количество спрямо входа:

;

Ако W(j) се представи като вектор на комплексната равнина, тогава при промяна от 0 на + неговият край ще начертае крива, наречена векторен ходограф W(j), или амплитудно-фазова честотна характеристика (APFC)(фиг. 48).

AFC клонът може да бъде получен при промяна от - на 0 огледална картинана дадена крива спрямо реалната ос.

TAU се използва широко логаритмични честотни характеристики (LFC)(фиг.49): логаритмична амплитудна честотна характеристика (LAFC)Земя логаритмична фазова честотна характеристика (LPFC) ().

Те се получават, като се вземе логаритъм на трансферната функция:

LAC се получава от първия член, който се умножава по 20 от съображения за мащабиране и не се използва натурален логаритъм, а десетичен, т.е. L() = 20lgA(). Стойността на L() се нанася по ординатната ос в децибели.

Промяна в нивото на сигнала с 10 dB съответства на промяна в неговата мощност с коефициент 10. Тъй като мощността на хармоничния сигнал P е пропорционална на квадрата на неговата амплитуда A, промяната на сигнала 10 пъти съответства на промяна на нивото му с 20 dB, тъй като

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log(A 2 /A 1).

Абсцисната ос показва честотата w в логаритмична скала. Това означава, че единичните интервали по абсцисната ос съответстват на промяна на w с коефициент 10. Този интервал се нарича десетилетие. Тъй като log(0) = -, ординатната ос се чертае произволно.

LPFC, получен от втория член, се различава от фазовия отговор само в мащаба по оста. Стойността () се нанася по ординатната ос в градуси или радиани. За елементарни връзки не надхвърля: - +.

Честотните характеристики са цялостни характеристики на системата. Познавайки честотната характеристика на системата, можете да възстановите нейната трансферна функция и да определите нейните параметри.

Обратна връзка.

Общоприето е, че връзката е покрита с обратна връзка, ако нейният изходен сигнал се подава към входа през друга връзка. Освен това, ако сигналът за обратна връзка се извади от входното действие (), тогава обратната връзка се нарича отрицателна. Ако сигналът за обратна връзка се добави към входното действие (), тогава обратната връзка се нарича положителна.

Трансферната функция на затворен контур с отрицателна обратна връзка - връзката, покрита с отрицателна обратна връзка - е равна на трансферната функция на правата верига, разделена на едно плюс трансферната функция на отворения контур

Трансферната функция на затворената верига с положителна обратна връзка е равна на директната трансферна функция, разделена на едно минус трансферната функция на отворената верига

22. 23. Четириполюсници.

При анализиране на електрически вериги в проблемите на изследване на връзката между променливи (токове, напрежения, мощности и т.н.) на два клона на веригата широко се използва теорията на четиритерминалните мрежи.

Четириполюсник- Това е част от верига с произволна конфигурация, която има две двойки клеми (оттук и името й), обикновено наричани вход и изход.

Примери за мрежа с четири клеми са трансформатор, усилвател, потенциометър, електропровод и други електрически устройства, в които могат да се разграничат две двойки полюси.

Най-общо четириполюсниците могат да бъдат разделени на активен,чиято структура включва енергийни източници и пасивен,чиито клонове не съдържат енергийни източници.

За да напишем уравненията на мрежа с четири терминала, ние избираме в произволна верига клон с един източник на енергия и всеки друг клон с известно съпротивление (виж фиг. 1, а).

В съответствие с принципа на компенсация, заменяме първоначалното съпротивление с източник с напрежение (виж фиг. 1,b). След това, въз основа на метода на суперпозиция за веригата на фиг. 1б може да се напише

Уравнения (3) и (4) са основните уравнения на четириполюсника; те се наричат ​​също квадриполни уравнения в A-форма (вижте таблица 1). Най-общо казано, има шест форми на записване на уравненията на пасивен четириполюсник. Наистина, мрежа с четири клеми се характеризира с две напрежения и два тока и. Всякакви две величини могат да бъдат изразени чрез останалите. Тъй като броят на комбинациите от четири по две е шест, тогава са възможни шест форми на записване на уравненията на пасивен четириполюсник, които са дадени в табл. 1. Положителни посоки на течения за различни формиуравненията са показани на фиг. 2. Имайте предвид, че изборът на една или друга форма на уравнения се определя от областта и вида на проблема, който се решава.

Маса 1. Форми за записване на уравненията на пасивен четириполюсник

форма	Уравнения	Връзка с коефициентите на основните уравнения
Форма	; ;
Y-образна форма	; ;	; ; ; ;
Z-образна форма	; ;	; ; ; ;
Н-образна форма	; ;	; ; ; ;
Г-образна форма	; ;	; ; ; ;
Б-образна форма	; .	; ; ; .

Характеристичен импеданс и коеф
разпространение на симетричен четириполюсник

В телекомуникациите широко се използва режимът на работа на симетрична четиритерминална мрежа, при която нейното входно съпротивление е равно на съпротивлението на товара, т.е.

.

Това съпротивление се обозначава като и се нарича характерно съпротивлениесиметрична мрежа с четири порта и режимът на работа на мрежата с четири порта, за който е вярно

,

3. Импулсни характеристики на електрически вериги

Импулсен спектър на веригата е съотношението на реакцията на верига към импулсно действие към площта на това действие при нулеви начални условия.

A-приори ,

където е реакцията на веригата към импулсно действие;

– зона на ударния импулс.

Използвайки известната импулсна характеристика на веригата, може да се намери реакцията на веригата към даден удар: .

Единичен импулсен ефект, наричан още делта функция или функция на Дирак, често се използва като функция на въздействие.

Делта функцията е функция, равна на нула навсякъде с изключение на , а нейната площ е равна на единица ():

.

До концепцията за делта функция може да се стигне, като се вземе предвид границата на правоъгълен импулс с височина и продължителност, когато (фиг. 3):

Нека установим връзка между предавателната функция на една верига и нейната импулсна характеристика, за което използваме операторния метод.

A-приори:

Ако влиянието (оригиналът) се разглежда в най-общия случай под формата на произведението на импулсната площ и делта функцията, т.е. във формата, тогава изображението на това влияние според таблицата на съответствието има формата:

.

Тогава, от друга страна, съотношението на преобразуваната от Лаплас реакция на веригата към площта на ударния импулс е импулсната реакция на оператора на веригата:

.

Следователно, .

За да се намери импулсната характеристика на верига, е необходимо да се приложи обратното преобразуване на Лаплас:

, т.е всъщност .

Обобщавайки формулите, получаваме връзка между операторната трансферна функция на веригата и операторните преходни и импулсни характеристики на веригата:

По този начин, знаейки една от характеристиките на веригата, можете да определите всички други.

Нека извършим идентичното преобразуване на равенството, като добавим към средната част.

Тогава ще имаме.

Тъй като е образ на производната на преходната характеристика, тогава оригиналното равенство може да бъде пренаписано като:

Преминавайки към областта на оригиналите, получаваме формула, която ни позволява да определим импулсната характеристика на верига от нейния известен преходен отговор:

Ако, тогава.

Обратната връзка между тези характеристики има формата:

.

С помощта на трансферната функция е лесно да се определи наличието на член във функцията.

Ако мощностите на числителя и знаменателя са еднакви, тогава въпросният термин ще присъства. Ако функцията е правилна дроб, тогава този член няма да съществува.

Пример: определете импулсните характеристики за напрежения и в серийната верига, показана на фигура 4.

Нека дефинираме:

Използвайки таблицата за съответствие, нека преминем към оригинала:

.

Графиката на тази функция е показана на фигура 5.

Ориз. 5

Функция на предаване:

Според таблицата за съответствие имаме:

.

Графиката на получената функция е показана на фигура 6.

Нека отбележим, че същите изрази могат да бъдат получени с помощта на отношения, установяващи връзка между и.

Импулсният отговор във физическия си смисъл отразява процеса свободни вибрациии поради тази причина може да се твърди, че в реални схеми винаги трябва да бъде изпълнено следното условие:

4. Конволюционни (наслагващи) интеграли

Нека разгледаме процедурата за определяне на реакцията на линейна електрическа верига към сложно влияние, ако е известна импулсната реакция на тази верига. Ще приемем, че въздействието е частично непрекъсната функция, показана на фигура 7.

Нека се изисква да се намери стойността на реакцията в някакъв момент от време. Решавайки този проблем, нека си представим въздействието като сума от правоъгълни импулси с безкрайно малка продължителност, един от които, съответстващ на момента във времето, е показан на фигура 7. Този импулс се характеризира с продължителност и височина.

От обсъдения по-рано материал е известно, че реакцията на верига към кратък импулс може да се счита за равна на произведението на импулсния отговор на веригата и площта на импулсното действие. Следователно безкрайно малкият компонент на реакцията, дължащ се на това импулсно действие в момента на времето, ще бъде равен на:

тъй като площта на импулса е равна на , а времето минава от момента на прилагането му до момента на наблюдение.

Използвайки принципа на суперпозицията, общата реакция на една верига може да се дефинира като сбор от безкрайно голям брой безкрайно малки компоненти, причинени от последователност от импулси с безкрайно малка площ, предхождащи момента във времето.

По този начин:

.

Тази формула е вярна за всякакви стойности, така че обикновено променливата се обозначава просто. Тогава:

.

Получената връзка се нарича конволюционен интеграл или суперпозиционен интеграл. Функцията, която се намира в резултат на изчисляване на конволюционния интеграл, се нарича конволюция и .

Можете да намерите друга форма на конволюционния интеграл, ако промените променливите в получения израз за:

.

Пример: намерете напрежението върху капацитета на серийна верига (фиг. 8), ако на входа действа експоненциален импулс от формата:

веригата е свързана: с промяна в енергийното състояние... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Преходен Характеристика електрически веригие: Отговор на една стъпка...

Забележителна характеристика на линейните системи - валидността на принципа на суперпозицията - отваря пряк път към систематичното решаване на проблемите за преминаването на различни сигнали през такива системи. Методът на динамично представяне (виж Глава 1) ви позволява да представяте сигнали под формата на суми от елементарни импулси. Ако по един или друг начин е възможно да се намери реакцията на изхода, която възниква под въздействието на елементарен импулс на входа, тогава последният етап от решаването на проблема ще бъде сумирането на такива реакции.

Предвиденият път на анализ се основава на представянето във времето на свойствата на сигналите и системите. Еднакво приложим, а понякога и много по-удобен, е анализът в честотната област, когато сигналите се определят чрез редове на Фурие или интеграли. Свойствата на системите се описват от техните честотни характеристики, които показват закона за трансформация на елементарни хармонични сигнали.

Импулсен отговор.

Нека някаква линейна стационарна система се описва с оператора T. За простота ще приемем, че входните и изходните сигнали са едномерни. По дефиниция импулсната характеристика на системата е функция, която е реакцията на системата към входен сигнал. Това означава, че функцията h(t) удовлетворява уравнението

Тъй като системата е стационарна, подобно уравнение ще съществува, ако входното действие е изместено във времето със стойността на производната:

Трябва ясно да се разбере, че импулсният отговор, както и делта функцията, която го генерира, са резултат от разумна идеализация. От физическа гледна точка, импулсната характеристика се доближава до реакцията на системата към входен импулсен сигнал с произволна форма с единица площ, при условие че продължителността на този сигнал е незначителна в сравнение с характерната времева скала на системата, за например периодът на собствените му колебания.

Интеграл на Дюамел.

Познавайки импулсната характеристика на линейна стационарна система, може формално да се реши всеки проблем относно преминаването на детерминиран сигнал през такава система. Действително в гл. 1 беше показано, че входният сигнал винаги допуска представяне на формата

Изходната реакция, съответстваща на него

Сега нека вземем предвид, че интегралът е граничната стойност на сумата, следователно линейният оператор T, базиран на принципа на суперпозицията, може да бъде включен под знака на интеграла. Освен това операторът T „действа“ само върху количества, които зависят от текущото време t, но не и от интеграционната променлива x. Следователно от израза (8.7) следва, че

или накрая

Тази формула, която е от основно значение в теорията на линейните системи, се нарича интеграл на Дюамел. Съотношението (8.8) показва, че изходният сигнал на линейна стационарна система е конволюция от две функции - входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Очевидно формула (8.8) може да бъде записана и във вида

Така че, ако импулсната характеристика h(t) е известна, тогава следващите етапи на решението се свеждат до напълно формализирани операции.

Пример 8.4. Някаква линейна стационарна система, вътрешна организациякоето не е значимо, има импулсна характеристика, която е правоъгълен видео импулс с продължителност T. Импулсът възниква при t = 0 и има амплитуда

Определете изходния отговор на тази система, когато към входа се приложи стъпков сигнал

Когато прилагате интегралната формула на Дюамел (8.8), трябва да обърнете внимание на факта, че изходният сигнал ще изглежда различно в зависимост от това дали текущата стойност надвишава или не продължителността на импулсния отговор. Когато имаме

Ако след това при функцията изчезва, следователно

Намерената изходна реакция се показва в линейна графика на части.

Обобщение към многомерния случай.

Досега се приемаше, че както входният, така и изходният сигнал са едномерни. В по-общия случай на система с входове и изходи трябва да се въведат частични импулсни отговори, всяка от които представлява сигнала на изхода, когато към входа се приложи делта функция.

Наборът от функции образува матрица от импулсни отговори

Интегралната формула на Дюамел в многомерния случай приема формата

където е -мерен вектор; - -мерен вектор.

Условие за физическа реализируемост.

Какъвто и да е специфичният тип импулсен отговор на физически осъществима система, най-важният принцип трябва винаги да бъде изпълнен: изходният сигнал, съответстващ на импулсното входно действие, не може да възникне до момента, в който импулсът се появи на входа.

Това води до много просто ограничение на вида на допустимите импулсни характеристики:

Това условие е изпълнено например от импулсната характеристика на системата, разгледана в пример 8.4.

Лесно е да се види, че за физически осъществима система горната граница в интегралната формула на Дюамел може да бъде заменена с текущата стойност на времето:

Формулата (8.13) има ясен физически смисъл: линейна стационарна система, обработваща сигнала, пристигащ на входа, извършва претеглено сумиране на всички негови моментни стойности, които са съществували „в миналото“ при - Ролята на функцията за претегляне се играе от импулсната реакция на системата. Фундаментално важно е, че физически внедрената система при никакви обстоятелства не може да работи с „бъдещи“ стойности на входния сигнал.

Освен това една физически осъществима система трябва да бъде стабилна. Това означава, че неговата импулсна характеристика трябва да отговаря на условието за абсолютна интегрируемост

Преходна характеристика.

Нека сигнал, представен от функцията на Хевисайд, действа на входа на линейна стационарна система.

Изходна реакция

обикновено се нарича преходна характеристика на системата. Тъй като системата е стационарна, преходният отговор е инвариантен по отношение на изместването на времето:

Изложените по-горе съображения за физическата реализуемост на системата се пренасят изцяло в случая, когато системата се възбужда не от делта функция, а от единичен скок. Следователно преходният отговор на физически осъществима система е различен от нула само при докато при t Съществува тясна връзка между импулсните и преходните характеристики. Наистина, оттогава въз основа на (8.5)

Операторът на диференциране и линейният стационарен оператор T могат да сменят местата си, така че

Използвайки формулата за динамично представяне (1.4) и действайки по същия начин, както при извеждането на връзка (8.8), получаваме друга форма на интеграла на Дюамел:

Честотен коефициент на предаване.

При математическото изследване на системите от особен интерес са онези входни сигнали, които, преобразувани от системата, остават непроменени по форма. Ако има равнопоставеност

тогава е собствена функция на системния оператор T, а числото X, в общия случай комплексно, е неговата собствена стойност.

Нека покажем, че комплексен сигнал при произволна честотна стойност е собствена функция на линеен стационарен оператор. За да направим това, използваме интеграла на Дюамел от формата (8.9) и изчисляваме

Това показва, че собствената стойност на системния оператор е комплексно число

(8.21)

наречено честотно усилване на системата.

Формула (8.21) установява фундаментално важен факт - коефициентът на честотно предаване и импулсната характеристика на линейна стационарна система са свързани помежду си чрез преобразуването на Фурие. Следователно винаги, знаейки функцията, можете да определите импулсния отговор

Стигнахме до най-важната точка от теорията на линейните стационарни системи - всяка такава система може да се разглежда или във времевата област, използвайки нейните импулсни или преходни характеристики, или в честотната област, задавайки честотния коефициент на предаване. И двата подхода са еквивалентни и изборът на един от тях е продиктуван от удобството за получаване на първоначални данни за системата и лекотата на изчисленията.

В заключение отбелязваме, че честотните свойства на линейна система, имаща входове и изходи, могат да бъдат описани с матрица от коефициенти на честотен трансфер

Има закон за връзка между матриците, подобно на това, което се дава с формули (8.21), (8.22).

Амплитудно-честотни и фазово-честотни характеристики.

Функцията има проста интерпретация: ако на входа на системата се получи хармоничен сигнал с известна честота и комплексна амплитуда, тогава комплексната амплитуда на изходния сигнал

В съответствие с формула (8.26), модулът на коефициента на честотно предаване (AFC) е четна, а фазовият ъгъл (PFC) е нечетна функция на честотата.

Много по-трудно е да се отговори на въпроса какъв трябва да бъде коефициентът на честотно предаване, за да бъдат изпълнени условията за физическа реализируемост (8.12) и (8.14). Нека представим без доказателство крайния резултат, известен като критерия на Пейли-Винер: коефициентът на предаване на честотата на физически осъществима система трябва да бъде такъв, че интегралът да съществува

Нека помислим конкретен пример, илюстриращ свойствата на честотното усилване на линейна система.

Пример 8.5. Някоя линейна стационарна система има свойствата на идеален нискочестотен филтър, т.е. нейният коефициент на честотно предаване се дава от системата от равенства:

Въз основа на израз (8.20), импулсната характеристика на такъв филтър

Симетрията на графиката на тази функция спрямо точката t = 0 показва неприложимостта на идеален нискочестотен филтър. Това заключение обаче пряко следва от критерия на Пейли-Винер. Наистина, интеграл (8.27) се разминава за всяка честотна характеристика, която изчезва в някакъв краен сегмент от честотната ос.

Въпреки неприложимостта на идеален нискочестотен филтър, този модел се използва успешно за приблизително описание на свойствата честотни филтри, като се приеме, че функцията съдържа фазов фактор, линейно зависим от честотата:

Както е лесно да се провери, ето импулсната характеристика

Параметърът, равен по големина на коефициента на наклона на фазовата характеристика, определя времезакъснението на максимума на функцията h(t). Това е ясно този моделколкото по-точно отразява свойствата на внедрената система, толкова по-голяма е стойността

Министерство на образованието и науката на Украйна

Донецки национален университет

Докладвай

на тема: Радиотехнически схеми и сигнали

Студент 3-та година редовна форма на НФ-3

Разработено от студент:

Александрович С. В.

Проверено от учителя:

Долбещенков В.В.

ВЪВЕДЕНИЕ

"Радиотехнически вериги и сигнали" (RTC и S)– курс, който е продължение на курса „Основи на теорията на електрическите вериги“. Неговата цел е да изучава основните закони, свързани с приемането на сигнали, тяхното предаване по комуникационни канали, обработка и преобразуване в радиовериги. Методите за анализ на сигнали и радиотехнически вериги, представени в курса "RTC и C", използват математическа и физическа информация, позната предимно на студентите от предишни дисциплини. Важна цел на дисциплината "RTC и S" е да научи студентите да избират математически апарат, който е адекватен на възникналата задача, и да покаже как работи този апарат при решаване на конкретни задачи в областта на радиотехниката. Също толкова важно е да научите учениците да виждат тясната връзка между математическото описание и физическата страна на разглежданото явление и да могат да съставят математически модели на изучаваните процеси.

Основни раздели, изучавани в курса "Радиотехнически схеми и сигнали":

1. Времеви анализ на вериги, базиран на конволюция;

2. Спектрален анализ на сигнали;

3. Радиосигнали с амплитудна и ъглова модулация;

4. Корелационен анализ на сигнали;

5. Активни линейни вериги;

6. Анализ на преминаването на сигнали през теснолентови вериги;

7. Отрицателна Обратна връзкав линейни вериги;

8. Филтърен синтез;

9. Нелинейни вериги и методи за техния анализ;

10. Схеми с променливи параметри;

11. Принципи на генериране на хармонични трептения;

12. Принципи на обработка на дискретни времеви сигнали;

13. Случайни сигнали;

14. Анализ на преминаването на случайни сигнали през линейни вериги;

15. Анализ на преминаването на случайни сигнали през нелинейни вериги;

16. Оптимална филтрация детерминистични сигналив шума;

17. Оптимално филтриране на случайни сигнали;

18. Числени методиизчисляване на линейни вериги.

АНАЛИЗ НА ВРЕМЕТО НА ВЕРИГИ, БАЗИРАН НА КОНВОЛЮЦИЯ

Стъпала и импулсна реакция

Времевият метод се основава на концепцията за преходни и импулсни характеристики на верига. Преходна функциявериги са реакцията на веригата към влияние под формата на единична функция. Показва преходния отговор на верига ж(T).Импулсен отговорверигите се наричат ​​отговор на верига към единична импулсна функция (d-функция). Означава импулсен отговор ч(T). Освен това, ж(T) И ч(T) се определят при нулеви начални условия във веригата. В зависимост от вида на реакцията и вида на въздействието (ток или напрежение), преходните и импулсните характеристики могат да бъдат безразмерни величини или да имат размери A/B или V/A.

Използването на понятията за преходни и импулсни характеристики на верига ни позволява да намалим изчисляването на реакцията на веригата от действието на непериодичен сигнал с произволна форма до определянето на реакцията на веригата към най-простото въздействие като единичен 1( T) или импулсна функция d( T), с помощта на които се апроксимира оригиналният сигнал. В този случай получената реакция на линейна верига се намира (използвайки принципа на суперпозицията) като сума от реакциите на веригата към елементарни влияния 1( T) или d( T).

Между преходните ж(T) и пулс ч(T) има известна връзка между характеристиките на линейна пасивна верига. Тя може да бъде установена чрез представяне на единична импулсна функция чрез преминаване до границата на разликата на две единични функции с магнитуд 1/t, изместени една спрямо друга по време t:

т.е. единичната импулсна функция е равна на производната на единичната функция. Тъй като се приема, че разглежданата верига е линейна, връзката остава същата за импулсните и преходните реакции на веригата

т.е. импулсната характеристика е производна на стъпковата реакция на веригата.

Уравнението е валидно за случая, когато ж(0) = 0 (нулеви начални условия за веригата). Ако ж(0) ¹ 0, след това представяне ж(T) като ж(T) = , където = 0, получаваме уравнението на свързване за този случай:

За да намерите преходните и импулсните характеристики на верига, можете да използвате както класически, така и операторни методи. Същността на класическия метод е да се определи времевата реакция на веригата (под формата на напрежение или ток в отделни клонове на веригата) на влиянието на единичен 1( T) или импулс d( T) функции. Обикновено е удобно да се определи преходната характеристика, като се използва класическият метод ж(T), и импулсната характеристика ч(T) намерете с помощта на уравнения за свързване или операторния метод.

Трябва да се отбележи, че стойността аз(Р)Vуравнението е числено равно на образа на преходната проводимост. Подобно изображение на импулсната характеристика е числено равно на операторската проводимост на веригата

Например за RС-вериги имаме:

Прилагане на Y(стр) теорема за разширение, получаваме:

В табл 1.1 обобщава стойностите на преходните и импулсните характеристики на тока и напрежението за някои вериги от първи и втори ред.

18. Реакция на линейни вериги към функции на единица. Преходни и импулсни характеристики на веригата, тяхното свързване.

Единична стъпкова функция (на функция) 1 (t) се определя, както следва:

Графика на функция 1 (t) е показано на фиг. 2.1.

функция 1 (t) е равно на нула за всички отрицателни стойности на аргумента и едно за t³ 0 . Нека също да въведем под внимание функцията на изместената единична стъпка

Този ефект се активира в момента T= T..

Напрежението под формата на единична стъпкова функция на входа на веригата ще бъде, когато е свързан източник на постоянно напрежение U 0 =1 V при T= 0 с помощта на идеален ключ (фиг. 2.3).

Единична импулсна функция (d е функция, функция на Дирак) се дефинира като производна на единична стъпкова функция. Защото в момента T= 0 функция 1 (T) претърпява прекъсване, тогава неговата производна не съществува (обръща се към безкрайност). По този начин единицата импулсна функция

Това е специална функция или математическа абстракция, но се използва широко в анализа на електрически и други физически обекти. Функции от този вид се разглеждат в математическата теория на обобщените функции.

Едно въздействие под формата на единична импулсна функция може да се разглежда като ударно въздействие (доста голяма амплитуда и безкрайно малко време на въздействие). Въведена е и единична импулсна функция, изместена във времето T= t

Единичната импулсна функция обикновено се изобразява графично като вертикална стрелка при T= 0 и изместен при - T= t (фиг. 2.4).

Ако вземем интеграла на единичната импулсна функция, т.е. определяме ограничената от него площ, получаваме следния резултат:

Ориз. 2.4.

Очевидно интервалът на интегриране може да бъде произволен, стига точката да попада там T= 0. Интеграл на изместената единична импулсна функция d ( т-т) също е равно на 1 (ако точката попада в границите на интегриране T= t). Ако вземем интеграла на единичната импулсна функция, умножен по определен коефициент А 0 , тогава очевидно резултатът от интегрирането ще бъде равен на този коефициент. Следователно коефициентът А 0 преди d( T) определя областта, ограничена от функцията А 0 д ( T).

За физическата интерпретация на d-функцията е препоръчително да се разглежда като граница, към която се стреми определена последователност от обикновени функции, напр.

Преходни и импулсни характеристики

Преходна функция h(t)се нарича реакция на верига към удар под формата на единична стъпкова функция 1 (T). Импулсен отговор g(t)се нарича реакцията на веригата към удар под формата на единична импулсна функция d ( T). И двете характеристики се определят при нулеви начални условия.

Преходната и импулсната функции характеризират веригата в преходен режим, тъй като те са реакции към стъпаловидни, т.е. доста тежък за всяка ударна система. В допълнение, както ще бъде показано по-долу, като се използват преходните и импулсните характеристики, може да се определи реакцията на веригата към произволно влияние. Преходните и импулсните характеристики са взаимосвързани по същия начин, както са свързани помежду си съответните влияния. Единичната импулсна функция е производна на единичната стъпкова функция (вижте (2.2)), следователно импулсният отговор е производна на стъпковия отговор и при ч(0) = 0 . (2.3)

Това твърдение следва от общи свойствалинейни системи, които се описват с линейни диференциални уравнения, по-специално, ако неговата производна се приложи към линейна верига с нулеви начални условия вместо ефект, тогава реакцията ще бъде равна на производната на първоначалната реакция.

От двете разглеждани характеристики преходната се определя най-лесно, тъй като може да се изчисли от реакцията на веригата към включването на източник на постоянно напрежение или ток на входа. Ако такава реакция е известна, тогава да се получи h(t)достатъчно е да се раздели на амплитудата на входното постоянно действие. От това следва, че преходният (както и импулсният) отговор може да има размерите на съпротивление, проводимост или да бъде безразмерна величина, в зависимост от размерите на удара и реакцията.

Пример . Определете прехода h(t)и пулс ж(T) характеристики на серийна RC верига.

Влиянието е входното напрежение u 1 (T), а реакцията е напрежението върху капацитета u 2 (T). Съгласно дефиницията за преходна реакция, тя трябва да се дефинира като изходно напрежение, когато източник на постоянно напрежение е свързан към входа на веригата U 0

Този проблем беше решен в раздел 1.6, където получихме u 2 (T) = u ° С (T) = По този начин, h(t) = u 2 (T) / U 0 = Импулсната характеристика се определя от (2.3) .