Въпрос: Производни на сложни функции на няколко променливи (разгледайте случаи на една и няколко независими променливи) Примери. Производна и диференциал на комплексна функция на няколко променливи Комплексна функция на две променливи

) вече многократно сме срещали частични производни сложни функцииподобни и по-трудни примери. Е, какво друго можете да говорите?! ...И всичко е като в живота - няма сложност, която да не е сложна =) Но математиката е това, за което е математиката, за да вмести многообразието на нашия свят в строга рамка. И понякога това може да стане с едно единствено изречение:

Най-общо сложната функция има формата , Където, поне единот букви представлява функция, което може да зависи от произволенброй променливи.

Минималният и най-простият вариант е отдавна познатата комплексна функция на една променлива, чиято производнанаучихме как да намираме миналия семестър. Вие също имате уменията да разграничавате функциите (разгледайте същите функции ) .

Така че сега ще се интересуваме точно от случая. Поради голямото разнообразие от сложни функции, общите формули за техните производни са много тромави и трудни за смилане. В тази връзка ще се огранича конкретни примери, от което можете да разберете общия принцип за намиране на тези производни:

Пример 1

Като се има предвид сложна функция, където . Задължително:
1) намерете нейната производна и запишете общия диференциал от 1-ви ред;
2) изчислете стойността на производната при .

Решение: Първо, нека да разгледаме самата функция. Предлага ни се функция в зависимост от и , която от своя страна са функцииедна променлива:

Второ, нека обърнем голямо внимание на самата задача - от нас се изисква да намерим производна, тоест изобщо не говорим за частни производни, които сме свикнали да намираме! Тъй като функцията всъщност зависи само от една променлива, тогава думата „производна“ означава тотална производна. Как да я намеря?

Първото нещо, което идва на ум, е директно заместване и по-нататъшно диференциране. Да заместим да функционира:
, след което няма проблеми с желаната производна:

И съответно общият диференциал:

Това решение е математически правилно, но малък нюанс е, че когато проблемът е формулиран така, както е формулиран, никой не очаква такова варварство от вас =) Но сериозно, тук наистина можете да намерите грешка. Представете си, че функция описва полета на земна пчела и вложените функции се променят в зависимост от температурата. Извършване на директна замяна , получаваме само лична информация, което характеризира полета, да речем, само в горещо време. Освен това, ако на човек, който не е запознат с земните пчели, му бъде представен крайният резултат и дори му е казано каква е тази функция, тогава той никога няма да научи нищо за основния закон на полета!

И така, напълно неочаквано, нашият бръмчащ брат ни помогна да разберем смисъла и важността на универсалната формула:

Свикнете с „двуетажната“ нотация за производни - в разглежданата задача те са тези, които се използват. В този случай човек трябва да бъде много подреденов записа: производни с директни символи “de” са пълни производни, а производните със заоблени икони са частични производни. Да започнем с последните:

Е, с „опашките“ всичко е елементарно:

Нека заместим намерените производни в нашата формула:

Когато една функция първоначално е предложена по сложен начин, тя ще бъде логична (и това е обяснено по-горе!)оставете резултатите както са:

В същото време в „сложните“ отговори е по-добре да се въздържате дори от минимални опростявания (тук, например, моли да се премахнат 3 минуса)- и имате по-малко работа, а вашият космат приятел с удоволствие ще прегледа задачата по-лесно.

Една груба проверка обаче няма да е излишна. Да заместим в намерената производна и извършете опростявания:


(на последната стъпка, която използвахме тригонометрични формули , )

В резултат на това се получава същият резултат, както при метода на „варварското“ решение.

Нека изчислим производната в точката. Първо е удобно да разберете „транзитните“ стойности (функционални стойности ) :

Сега правим окончателните изчисления, които в в такъв случайможе да се направи по различни начини. Използвам интересна техника, при която 3-ти и 4-ти „етаж“ се опростяват не според обичайните правила, а се трансформират като частно от две числа:

И, разбира се, е грях да не проверите с по-компактна нотация :

Отговор:

Случва се проблемът да бъде предложен в „полуобща“ форма:

„Намерете производната на функцията където »

Тоест, „основната“ функция не е дадена, но нейните „вмъквания“ са доста специфични. Отговорът трябва да бъде даден в същия стил:

Освен това условието може да бъде леко криптирано:

„Намерете производната на функцията »

В този случай имате нужда от сам по себе сиобозначавайте вложени функции с някои подходящи букви, например чрез и използвайте същата формула:

Между другото, относно обозначенията на буквите. Вече многократно призовавах да не се „вкопчваме в буквите“ по отношение на Спасителна шамандура, а сега това е особено актуално! Анализирайки различни източници по темата, като цяло останах с впечатлението, че авторите са „полудели“ и са започнали безмилостно да хвърлят учениците в бурната бездна на математиката =) Така че, простете ми :))

Пример 2

Намерете производната на функция , Ако

Другите обозначения не бива да предизвикват объркване! Всеки път, когато срещнете задача като тази, трябва да отговорите на два прости въпроса:

1) От какво зависи „основната“ функция?В този случай функцията "zet" зависи от две функции ("y" и "ve").

2) От какви променливи зависят вложените функции?В този случай и двете „вложки“ зависят само от „X“.

Така че не би трябвало да имате затруднения с адаптирането на формулата към тази задача!

Кратко решение и отговор в края на урока.

Допълнителни примери от първия тип могат да бъдат намерени в Проблемна книга на Рябушко (IDZ 10.1), добре, ние се насочваме към функция на три променливи:

Пример 3

Дадена е функция, където .
Изчислете производната в точка

Формулата за производната на сложна функция, както мнозина предполагат, има свързана форма:

Решете, след като познаете =)

За всеки случай ще дам обща формула за функцията:
, въпреки че на практика е малко вероятно да видите нещо по-дълго от Пример 3.

Освен това понякога е необходимо да се разграничи „скъсена“ версия - като правило, функция на формата или. Оставям този въпрос да го изучавате сами - измислете няколко прости примера, помислете, експериментирайте и изведете съкратени формули за производни.

Ако нещо все още не е ясно, моля, бавно прочетете и осмислете първата част от урока, защото сега задачата ще стане по-сложна:

Пример 4

Намерете частните производни на сложна функция, където

Решение: тази функция има формата и след директно заместване и получаваме обичайната функция на две променливи:

Но такъв страх не само не се приема, но човек вече не иска да прави разлика =) Затова ще използваме готови формули. За да ви помогна бързо да схванете модела, ще направя някои бележки:

Погледнете внимателно снимката отгоре надолу и отляво надясно...

Първо, нека намерим частичните производни на „главната“ функция:

Сега намираме производните на „X“ на „лайнерите“:

и запишете крайната производна „X“:

По същия начин с „играта“:

И

Можете да се придържате към друг стил - намерете всички „опашки“ наведнъж и след това запишете двете производни.

Отговор:

Относно заместването някак си изобщо не мисля за това =) =), но можете да промените малко резултатите. Въпреки че, отново, защо? – само затрудняват проверката на учителя.

Ако трябва, тогава пълен диференциалтук е написано по обичайната формула и, между другото, именно на тази стъпка леката козметика става подходяща:


Това е... ...ковчег на колела.

Поради популярността на разглеждания тип сложна функция има няколко задачи за самостоятелно решаване. По-прост пример в „полуобща“ форма е за разбиране на самата формула;-):

Пример 5

Намерете частните производни на функцията, където

И по-сложно - с включване на техники за диференциране:

Пример 6

Намерете пълния диференциал на функция , Където

Не, изобщо не се опитвам да ви „пратя на дъното“ - всички примери са взети от истинска работа, и „в открито море“ можете да срещнете всякакви букви. Във всеки случай ще трябва да анализирате функцията (отговорете на 2 въпроса – вижте по-горе), представете го в общ вид и внимателно модифицирайте формулите за частни производни. Сега може би сте малко объркани, но ще разберете самия принцип на тяхното изграждане! Защото истинските предизвикателства тепърва започват :)))

Пример 7

Намерете частични производни и създайте пълния диференциал на сложна функция
, Където

Решение: функцията “main” има формата и все още зависи от две променливи – “x” и “y”. Но в сравнение с Пример 4 е добавена друга вложена функция и следователно формулите за частни производни също са удължени. Както в този пример, за по-добро визуализиране на модела, ще маркирам „основните“ частични производни в различни цветове:

И отново внимателно проучете записа отгоре надолу и отляво надясно.

Тъй като проблемът е формулиран в „полу-обща“ форма, цялата ни работа по същество е ограничена до намиране на частични производни на вградени функции:

Първокласник може да се справи с:

И дори пълният диференциал се оказа доста хубав:

Умишлено не ви предложих никаква конкретна функция - така че ненужното претрупване да не пречи на доброто разбиране на схематична диаграмазадачи.

Отговор:

Доста често можете да намерите „смесени по размер“ инвестиции, например:

Тук функцията „main“, въпреки че има формата , все още зависи както от „x“, така и от „y“. Следователно работят същите формули - просто някои частни производни ще бъдат равни на нула. Освен това, това важи и за функции като , в която всяка „лайнер“ зависи от една променлива.

Подобна ситуация възниква в последните два примера на урока:

Пример 8

Намерете общия диференциал на сложна функция в точка

Решение: условието е формулирано по „бюджетен“ начин и ние трябва сами да етикетираме вложените функции. Мисля, че това е добър вариант:

„Вложките“ съдържат ( ВНИМАНИЕ!) ТРИ букви са доброто старо "X-Y-Z", което означава, че "главната" функция всъщност зависи от три променливи. Може да бъде формално пренаписано като , а частните производни в този случай се определят от следните формули:

Ние сканираме, задълбаваме, улавяме...

В нашата задача:

Теорема.Позволявам u = f (x, y)е дадено в област D и нека x = x(t)И y = y(t)идентифицирани в района , и когато , тогава x и y принадлежат на област D. Нека функцията u е диференцируема в точка M 0 (х 0 ,г 0 ,z 0), и функции x(T) и при(T) диференцируема в съответната точка t 0 , тогава комплексната функция u = f[х(T),г(T)]=F (T)диференцируема в точка t 0 и равенството е в сила:

.

Доказателство.Тъй като u е диференцируемо по условие в точката ( х 0 , г 0), тогава общото му увеличение е представено като

Разделяйки това съотношение на, получаваме:

Нека отидем до границата при и да вземем формулата

.

Бележка 1.Ако u= u(x, y) И х= х, г= г(х), тогава общата производна на функцията uпо променлива х

или .

Последното равенство може да се използва за доказване на правилото за диференциране на функция на една променлива, дадено имплицитно във формата Е(х, г) = 0, където г= г(х) (вижте тема No3 и пример 14).

Ние имаме: . Оттук . (6.1)

Да се ​​върнем към пример 14 от тема №3:

;

.

Както можете да видите, отговорите съвпаднаха.

Бележка 2.Позволявам u = f (x, y), Където х= х(T ,v), при= при(T ,v). Тогава u в крайна сметка е сложна функция от две променливи TИ v. Ако сега функцията u е диференцируема в точката М 0 (х 0 , г 0) и функциите хИ приса диференцируеми в съответната точка ( T 0 , v 0), тогава можем да говорим за частични производни по отношение на TИ vот сложна функция в точката ( T 0 , v 0). Но ако говорим за частична производна по отношение на t в определена точка, тогава втората променлива v се счита за постоянна и равна на v 0 . Следователно, ние говорим за производна само на сложна функция по отношение на t и следователно можем да използваме получената формула. Така получаваме.

Дадено е доказателство на формулата за производна на комплексна функция. Подробно са разгледани случаите, когато сложна функция зависи от една или две променливи. Направено е обобщение за случай на произволен брой променливи.

Вижте също: Примери за използване на формулата за производна на сложна функция

Основни формули

Тук предоставяме извеждането на следните формули за производната на сложна функция.
Ако , тогава
.
Ако , тогава
.
Ако , тогава
.

Производна на сложна функция от една променлива

Нека функция на променлива x бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
където има някои функции. Функцията е диференцируема за някаква стойност на променливата x. Функцията е диференцируема по стойността на променливата.
Тогава комплексната (съставната) функция е диференцируема в точка x и нейната производна се определя по формулата:
(1) .

Формула (1) може да бъде записана и по следния начин:
;
.

Доказателство

Нека въведем следната нотация.
;
.
Тук има функция на променливите и , има функция на променливите и . Но ще пропуснем аргументите на тези функции, за да не затрупваме изчисленията.

Тъй като функциите и са диференцируеми в точки x и съответно, тогава в тези точки има производни на тези функции, които са следните граници:
;
.

Помислете за следната функция:
.
За фиксирана стойност на променливата u е функция на . Очевидно е, че
.
Тогава
.

Тъй като функцията е диференцируема функция в точката, тя е непрекъсната в тази точка. Ето защо
.
Тогава
.

Сега намираме производната.

.

Формулата е доказана.

Последица

Ако функция на променлива x може да бъде представена като сложна функция на сложна функция
,
тогава неговата производна се определя от формулата
.
Тук и има някои диференцируеми функции.

За да докажем тази формула, ние последователно изчисляваме производната, използвайки правилото за диференциране на сложна функция.
Разгледайте сложната функция
.
Негова производна
.
Помислете за оригиналната функция
.
Негова производна
.

Производна на сложна функция от две променливи

Сега нека сложната функция зависи от няколко променливи. Първо нека да разгледаме случай на сложна функция на две променливи.

Нека функция, зависеща от променливата x, бъде представена като сложна функция на две променливи в следната форма:
,
Където
и има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x;
- функция на две променливи, диференцируема в точка , . Тогава комплексната функция е дефинирана в определена околност на точката и има производна, която се определя по формулата:
(2) .

Доказателство

Тъй като функциите и са диференцируеми в точката, те са дефинирани в определена околност на тази точка, непрекъснати са в точката и техните производни съществуват в точката, които са следните граници:
;
.
Тук
;
.
Поради непрекъснатостта на тези функции в даден момент имаме:
;
.

Тъй като функцията е диференцируема в точката, тя е дефинирана в определена околност на тази точка, непрекъсната е в тази точка и нейното нарастване може да се запише в следната форма:
(3) .
Тук

- увеличаване на функция, когато нейните аргументи се увеличават със стойности и ;
;

- частни производни на функцията по отношение на променливите и .
За фиксирани стойности на и и са функции на променливите и . Те клонят към нула при и:
;
.
Тъй като и , тогава
;
.

Увеличаване на функцията:

. :
.
Нека заместим (3):



.

Формулата е доказана.

Производна на сложна функция от няколко променливи

Горното заключение може лесно да се обобщи за случая, когато броят на променливите на сложна функция е повече от две.

Например, ако f е функция на три променливи, Че
,
Където
, и има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x;
- диференцируема функция на три променливи в точка , , .
Тогава от определението за диференцируемост на функцията имаме:
(4)
.
Защото поради приемствеността,
; ; ,
Че
;
;
.

Разделяйки (4) на и преминавайки към границата, получаваме:
.

И накрая, нека помислим най-общия случай.
Нека функция на променлива x бъде представена като сложна функция на n променливи в следната форма:
,
Където
има диференцируеми функции за някаква стойност на променливата x;
- диференцируема функция на n променливи в точка
, , ... , .
Тогава
.

1°. Случаят на една независима променлива. Ако z=f(x,y) е диференцируема функция на аргументите x и y, които от своя страна са диференцируеми функции на независимата променлива T: , тогава производната на комплексната функция може да се изчисли с помощта на формулата

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Според формула (1) имаме:

Пример. Намерете частната производна и пълната производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Позволявам z =е (х ;y) -функция на две променливи хИ y,всяка от които е функция на независимата променлива t : x =х(t), y =y (T).В този случай функцията z =е (х(T);y (T ))е сложна функция на една независима променлива T;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == f(х ; y) -диференцируеми в точка M(x;y)дфункция и x =х(T)И при =y (T) -диференцируеми функции на независимата променлива T,след това производната на сложна функция z (T) == f(х(T);y (T ))изчислено по формулата

Специален случай:z = е (х ; y),където y = y(x),тези. z = е (х ;y (х )) -сложна функция на една независима променлива Х.Този случай се свежда до предишния и ролята на променливата Tиграе Х.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общи производни.

Общ случай: z = е (х ;y),Където x =х(u ;v),y =y (u ;v).Тогава z = е (х(u ;v);y (u ;v)) -сложна функция на независими променливи ИИ v.Неговите частни производни могат да бъдат намерени с формула (3), както следва. След като поправих v,заместваме в него съответните частни производни

По този начин, производната на комплексна функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ИИ v)е равно на сумата от произведенията на частните производни на тази функция (z) по отношение на нейните междинни променливи (x и y)към техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи формулата е валидна

(свойство за инвариантност на тотален диференциал).

Пример. Намерете и ако z = f(x ,y ), където x =uv , .

Решение. Прилагайки формули (4) и (5), получаваме:

Пример. Покажете, че функцията удовлетворява уравнението .

Решение. Функцията зависи от x и y чрез междинен аргумент, така че

Замествайки частични производни в лявата страна на уравнението, имаме:

Тоест функцията z удовлетворява това уравнение.

Производна по дадена посока и градиент на функцията

1°. Производна на функция в дадена посока. Производнафункции z= f(x,y) в тази посокаНаречен , където и са стойностите на функцията в точки и . Ако функцията z е диференцируема, тогава формулата е валидна

къде са ъглите между посоките ли съответните координатни оси. Производната в дадена посока характеризира скоростта на промяна на функция в тази посока.

Пример. Намерете производната на функцията z = 2x 2 - 3 2 в точка P (1; 0) в посока, сключваща ъгъл 120° с оста OX.

Решение. Нека намерим частните производни на тази функция и техните стойности в точка P.

Нека z=ƒ(x;y) е функция на две променливи x и y, всяка от които е функция на независима променлива t: x = x(t), y = y(t). В този случай функцията z = f(x(t);y(t)) е сложна функция на една независима променлива t; променливите x и y са междинни променливи.

Теорема 44.4. Ако z = ƒ(x;y) е функция, диференцируема в точката M(x;y) є D и x = x(t) и y = y(t) са диференцируеми функции на независимата променлива t, тогава производната на комплексната функция z(t ) = f(x(t);y(t)) се изчислява по формулата

Нека дадем на независимата променлива t увеличение Δt. Тогава функциите x = = x(t) и y = y(t) ще получат увеличения съответно Δx и Δy. Те от своя страна ще накарат функцията z да увеличи Az.

Тъй като по условие функцията z - ƒ(x;y) е диференцируема в точката M(x;y), нейният общ прираст може да бъде представен във формата

където а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (виж параграф 44.3). Нека разделим израза Δz на Δt и отидем до границата при Δt→0. Тогава Δх→0 и Δу→0 поради непрекъснатостта на функциите x = x(t) и y = y(t) (съгласно условията на теоремата те са диференцируеми). Получаваме:

Специален случай: z=ƒ(x;y), където y=y(x), т.е. z=ƒ(x;y(x)) е сложна функция на една независима променлива x. Този случай се свежда до предишния, а ролята на променливата t играе x. Съгласно формула (44.8) имаме:

Формула (44.9) се нарича формула за обща производна.

Общ случай: z=ƒ(x;y), където x=x(u;v), y=y(u;v). Тогава z= f(x(u;v);y(u;v)) е сложна функция на независимите променливи u и v. Неговите частни производни могат да бъдат намерени с формула (44.8), както следва. След като фиксираме v, ние го заместваме със съответните частни производни

По същия начин получаваме:

Така производната на сложна функция (z) по отношение на всяка независима променлива (u и v) е равна на сумата от произведенията на частните производни на тази функция (z) по отношение на нейните междинни променливи (x и y ) и техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Пример 44.5. Намерете дали z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Решение: Нека намерим dz/du (dz/dv - независимо), използвайки формула (44.10):

Нека опростим дясната страна на полученото равенство:

40. Частни производни и тотални диференциали на функции на няколко променливи.

Нека е дадена функцията z = ƒ (x; y). Тъй като x и y са независими променливи, едната от тях може да се променя, докато другата запазва стойността си. Нека дадем на независимата променлива x увеличение Δx, като запазим стойността y непроменена. Тогава z ще получи увеличение, което се нарича частично увеличение на z по отношение на x и се обозначава ∆ x z. Така,

Δ x z=ƒ(x+Δx;y)-ƒ(x;y).

По подобен начин получаваме частичното увеличение на z по отношение на y:

Δ y z=ƒ(x;y+Δy)-ƒ(x;y).

Общото нарастване Δz на функцията z се определя от равенството

Δz = ƒ(x + Δx;y + Δy) - ƒ(x;y).

Ако има ограничение

тогава се нарича частична производна на функцията z = ƒ (x; y) в точката M (x; y) по отношение на променливата x и се обозначава с един от символите:

Частичните производни по отношение на x в точката M 0 (x 0 ; y 0) обикновено се означават със символите

Частната производна на z=ƒ(x;y) по отношение на променливата y се дефинира и обозначава по подобен начин:

По този начин частичната производна на функция от няколко (две, три или повече) променливи се определя като производна на функция на една от тези променливи, при условие че стойностите на останалите независими променливи са постоянни. Следователно частните производни на функцията ƒ(x;y) се намират с помощта на формулите и правилата за изчисляване на производните на функция на една променлива (в този случай x или y се считат съответно за постоянна стойност).

Пример 44.1. Намерете частните производни на функцията z = 2y + e x2-y +1. Решение:

Геометричен смисъл на частни производни на функция на две променливи

Графиката на функцията z= ƒ (x; y) е определена повърхност (вижте раздел 12.1). Графиката на функцията z = ƒ (x; y 0) е пресечната линия на тази повърхност с равнината y = y o. Въз основа на геометричния смисъл на производната за функция на една променлива (вижте параграф 20.2), заключаваме, че ƒ"x(x o; y o) = tan a, където a е ъгълът между оста Ox и допирателната, начертана към крива z = ƒ (x; y 0) в точка Mo(xo;yo; ƒ(xo;yo)) (виж Фиг. 208).

По подобен начин, f"y (x 0; y 0)=tgβ.

Функцията Z=f(x,y) се нарича диференцируема в точката P(x,y), ако нейният общ прираст ΔZ може да бъде представен като Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), където Δx и Δy – всички увеличения на съответните аргументи x и y в определена околност на точката P, A и B са постоянни (не зависят от Δx,Δy),

ω(Δx,Δy) – безкрайно малка от по-висок порядък от разстоянието:

Ако една функция е диференцируема в дадена точка, тогава нейният общ прираст в тази точка се състои от две части:

1. Основната част от нарастването на функцията A∙Δx+B∙Δy е линейна по отношение на Δx,Δy

2. И нелинейното ω(Δx,Δy) е безкрайно малко от по-висок порядък от основната част на нарастването.

Основната част от нарастването на функция, линейна по отношение на Δx,Δy, се нарича общ диференциал на тази функция и се означава:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx и Δy=dy или пълния диференциал на функция от две променливи:

Диференциал на дисплея. Диференциал и производна на числова функция на една променлива. Таблица на производните. Диференцируемост. ) е функция на аргумент , който е безкрайно малък като →0, т.е.

Нека сега изясним връзката между диференцируемостта в точка и съществуването на производна в същата точка.

Теорема. За да може функцията f(х) беше диференцируем в дадена точка х , е необходимо и достатъчно той да има крайна производна в тази точка.

Таблица на производните.