MA. Ограничение на функцията. Дефиниция на епсилон-делта език. Околности на функция. Лимит на функционална последователност Еквивалентност на дефиниции на лимит на функция по Коши

Теоретичен минимум

Концепцията за ограничение във връзка с числови последователности вече беше въведена в темата "".
Препоръчително е първо да прочетете съдържащия се в него материал.

Преминавайки към предмета на тази тема, нека си припомним понятието функция. Функцията е друг пример за картографиране. Ще разгледаме най-простия случай
реална функция на един реален аргумент (това, което е трудно в други случаи, ще бъде обсъдено по-късно). Функцията в тази тема се разбира като
закон, според който на всеки елемент от множеството, върху което е дефинирана функцията, се приписват един или повече елемента
набор, наречен набор от стойности на функцията. Ако на всеки елемент от дефиниционната област на функцията се присвои един елемент
набор от стойности, тогава функцията се нарича еднозначна, в противен случай функцията се нарича многозначна. За простота ще говорим само за
недвусмислени функции.

Веднага бих искал да подчертая фундаменталната разлика между функция и последователност: множествата, свързани чрез картографиране в тези два случая, са значително различни.
За да избегнем необходимостта да използваме терминологията на общата топология, ще изясним разликата, използвайки неточни разсъждения. При обсъждане на лимита
последователности, говорихме само за една опция: неограничено нарастване на броя на елементите на последователността. С това нарастване на броя самите елементи
последователностите се държаха много по-разнообразно. Те могат да се „натрупват“ в малък квартал от определен брой; биха могли да растат неограничено и т.н.
Грубо казано, уточняването на последователност е уточняване на функция в отделен „домейн на дефиниция“. Ако говорим за функция, чиято дефиниция е дадена
в началото на темата трябва да се изгради по-внимателно понятието лимит. Има смисъл да говорим за границата на функцията когато аргументът й клони към определена стойност .
Тази формулировка на въпроса нямаше смисъл по отношение на последователностите. Необходимо е да се направят някои уточнения. Всички те са свързани с
как точно аргументът се стреми към въпросния смисъл.

Нека да разгледаме няколко примера - засега накратко:


Тези функции ще ни позволят да разгледаме различни случаи. Представяме тук графиките на тези функции за по-голяма яснота на представянето.

Функция във всяка точка от своята област на дефиниция има ограничение - това е интуитивно ясно. Която и точка от областта на дефиницията да вземем,
веднага можете да разберете към каква стойност клони функцията, когато аргументът клони към избраната стойност, и границата ще бъде крайна, ако само аргументът
не клони към безкрайност. Графиката на функцията има пречупване. Това засяга свойствата на функцията в точката на прекъсване, но от гледна точка на лимита
тази точка не е подчертана. Функцията вече е по-интересна: в момента не е ясно каква стойност на лимита да се присвои на функцията.
Ако подходим към точка отдясно, тогава функцията клони към една стойност, ако отляво, функцията клони към друга стойност. В предишния
нямаше примери за това. Когато една функция клони към нула, или отляво, или отдясно, тя се държи по същия начин, клонейки към безкрайност -
за разлика от функцията, която клони към безкрайност, тъй като аргументът клони към нула, но знакът за безкрайност зависи от това с какво
страна се приближаваме до нулата. И накрая, функцията се държи напълно неразбираемо при нула.

Нека формализираме концепцията за граница, използвайки езика "epsilon-delta". Основната разлика от определението за ограничение на последователността ще бъде необходимостта
описват тенденцията на аргумент на функция към определена стойност. Това изисква концепцията за гранична точка на множество, която е спомагателна в този контекст.
Точка се нарича гранична точка на набор, ако е в произволна околност съдържа безброй точки
принадлежащи и различни от . Малко по-късно ще стане ясно защо е необходимо такова определение.

И така, числото се нарича граница на функцията в точката, която е граничната точка на множеството, на което е дефинирана
функция ако

Нека разгледаме това определение едно по едно. Нека подчертаем тук частите, свързани с желанието на аргумента за значение и с желанието на функцията
да оценявам . Трябва да разберете общото значение на писменото изявление, което може да се тълкува приблизително по следния начин.
Функцията клони към при , ако вземем число от достатъчно малка околност на точката , ще го направим
получи стойността на функция от достатъчно малка околност на числото. И колкото по-малка е околността на точката, от която са взети стойностите
аргумент, толкова по-малка ще бъде околността на точката, в която ще попаднат стойностите на съответните функции.

Нека се върнем отново към формалната дефиниция на границата и да я прочетем в светлината на току-що казаното. Положително число ограничава квартала
точка, от която ще вземем стойностите на аргумента. Освен това стойностите на аргумента, разбира се, са от областта на дефиниране на функцията и не съвпадат със самата функция
точка: пишем стремеж, а не случайност! Така че, ако вземем стойността на аргумента от указаното -околност на точката,
тогава стойността на функцията ще попадне в -околността на точката .
И накрая, нека съберем определението. Колкото и малка да изберем -околността на точката, винаги ще има такава -околност на точката,
че при избора на стойностите на аргумента от него ще се окажем в близост до точката . Разбира се, размерът е околността на точката в този случай
зависи от това какъв квартал на точката е зададен. Ако околността на стойността на функцията е достатъчно голяма, тогава съответното разпространение на стойностите
аргументът ще е страхотен. Тъй като околността на стойността на функцията намалява, съответното разпространение на стойностите на аргумента също ще намалее (вижте Фиг. 2).

Остава да уточним някои подробности. Първо, изискването точката да бъде граница елиминира необходимостта да се притеснявате дали точка
от -съседството обикновено принадлежи към областта на дефиниране на функцията. Второ, участие в определянето на граничното условие означава
че един аргумент може да клони към стойност както отляво, така и отдясно.

За случая, когато аргументът на функцията клони към безкрайност, понятието гранична точка трябва да бъде дефинирано отделно. наречен лимит
точка на множеството, ако за всяко положително число интервалът съдържа безкрайно множество
точки от сета.

Да се ​​върнем към примерите. Функцията не представлява особен интерес за нас. Нека разгледаме по-отблизо другите функции.

Примери.

Пример 1. Графиката на функцията има пречупване.
функция въпреки сингулярността в точката, тя има граница в тази точка. Особеността при нула е загубата на гладкост.

Пример 2. Едностранни ограничения.
Функция в точка няма ограничение. Както вече беше отбелязано, за наличието на лимит е необходимо при гледане
отляво и отдясно функцията клонеше към една и съща стойност. Това очевидно не важи тук. Все пак може да се въведе понятието едностранна граница.
Ако аргументът клони към дадена стойност от страна на по-големи стойности, тогава говорим за дясна граница; ако от страната на по-малки стойности -
относно лявата граница.
В случай на функция
- дясна граница Въпреки това, можем да дадем пример, когато безкрайните трептения на синуса не пречат на съществуването на граница (и то двустранна).
Пример за това е функцията . Графиката е дадена по-долу; по очевидни причини го изградете докрай в близост
произход е невъзможен. Ограничението при е нула.

Бележки.
1. Съществува подход за определяне на лимита на функция, който използва лимита на редица – т.нар. Определението на Хайне. Там се конструира последователност от точки, която се сближава до търсената стойност
аргумент - тогава съответната последователност от стойности на функцията се сближава до границата на функцията при тази стойност на аргумента. Еквивалентност на дефиницията на Хайне и дефиницията в езика
"епсилон-делта" е доказано.
2. Случаят с функции на два или повече аргумента се усложнява от факта, че за съществуването на граница в дадена точка се изисква стойността на границата да бъде една и съща за всеки начин, по който аргументът клони
до необходимата стойност. Ако има само един аргумент, тогава можете да се стремите към необходимата стойност отляво или отдясно. Кога Повече ▼променливи, броят на опциите нараства рязко. Случаят на функциите
комплексната променлива изисква отделно обсъждане.

texvc - кварталмножествата във функционалния анализ и свързаните с него дисциплини са такива множества, всяка точка от които е отдалечена от даден наборне повече от Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon .

Дефиниции

• Позволявам Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): (X,\varrho)има метрично пространство, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): x_0 \in X,И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon > 0. Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon-заобикалящата среда Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc наречен набор

• Нека е дадено подмножество Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): A \subset X.Тогава Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon- околността на това множество е множеството

Бележки

• Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon-околност на точката Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): x_0така се нарича отворена топка с център в Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): x_0и радиус Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon.
• Пряко от определението следва, че

• Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \varepsilon-съседство е квартал и по-специално отворен набор.

Примери

Напишете рецензия за статията "Квартал Ипсилон"

Откъс, характеризиращ квартал Ипсилон

Какви символи освен знаците за неравенство и модула знаете?

От курса по алгебра знаем следната нотация:

– универсалният квантификатор означава „за всеки“, „за всички“, „за всеки“, тоест записът трябва да се чете „за всеки положителен епсилон“;

– екзистенциален квантор, – има стойност, принадлежаща към множеството от естествени числа.

– дълга вертикална пръчка се чете така: „такава“, „такава“, „такава“ или „такава“, в нашия случай, очевидно, говорим за число - следователно „такова“;

– за всички “en” по-големи от ;

– знакът модул означава разстояние, т.е. този запис ни казва, че разстоянието между стойностите е по-малко от епсилон.

Определяне на границата на последователността

И всъщност, нека помислим малко - как да формулираме строга дефиниция на последователността? ... Първото нещо, което идва на ум в светлината на практически урок: "границата на редицата е числото, до което членовете на редицата се приближават безкрайно."

Добре, нека запишем последователността:

Не е трудно да се разбере, че подпоследователността се доближава до числото –1 безкрайно близо, а членовете с четни числа се доближават до „едно“.

Или може би има две граници? Но защо тогава нито една последователност не може да има десет или двадесет от тях? Можете да стигнете далеч по този начин. В тази връзка е логично да се приеме, че ако една последователност има граница, то тя е единствената.

Забележка: последователността няма ограничение, но две подпоследователности могат да бъдат разграничени от нея (вижте по-горе), всяка от които има собствена граница.

Така горното определение се оказва несъстоятелно. Да, работи за случаи като (които не използвах съвсем правилно в опростени обяснения на практически примери), но сега трябва да намерим стриктна дефиниция.

Втори опит: „границата на една последователност е числото, до което се доближават ВСИЧКИ членове на последователността, с възможно изключение на техния краен брой.“ Това е по-близо до истината, но все още не е съвсем точно. Така например половината от членовете на последователност изобщо не се доближават до нула - те просто са равни на нея =) Между другото, "мигащата светлина" обикновено приема две фиксирани стойности.

Формулировката не е трудна за изясняване, но тогава възниква друг въпрос: как да напишем определението в математически символи? Научният свят се бореше с този проблем дълго време, докато ситуацията не беше разрешена от известния маестро, който по същество формализира класическия математически анализ в цялата му строгост. Коши предложи да се работи в околността, което значително напредна в теорията.

Помислете за определена точка и нейната произволна околност:

Стойността на „epsilon“ винаги е положителна и освен това ние имаме право сами да го изберем. Нека приемем, че в даден квартал има много членове (не непременно всички) на някаква последователност. Как да запишем факта, че например десетият срок е в съседство? Нека е от дясната му страна. Тогава разстоянието между точките и трябва да бъде по-малко от "епсилон": . Ако обаче „x десета“ се намира вляво от точка „a“, тогава разликата ще бъде отрицателна и следователно към нея трябва да се добави знакът за модул: .

Дефиниция: число се нарича граница на последователност, ако за някоя от неговите околности (предварително избрани) има естествено число ТАКАВО, че ВСИЧКИ членове на последователността с по-големи числа ще бъдат вътре в околността:

Или накратко: ако

С други думи, без значение колко малка е стойността на "епсилон", която приемаме, рано или късно "безкрайната опашка" на последователността НАПЪЛНО ще бъде в този квартал.

Така, например, „безкрайната опашка" на последователността НАПЪЛНО ще влезе във всяка произволно малка околност на точката. Така тази стойност е границата на последователността по дефиниция. Нека ви напомня, че се извиква редица, чиято граница е нула безкрайно малък.

Трябва да се отбележи, че за последователност вече не е възможно да се каже „ще дойде безкрайна опашка“ - термини с нечетни числа всъщност са равни на нула и „няма да отиде никъде“ =) Ето защо глаголът „ще се появи ” се използва в определението. И, разбира се, членовете на последователност като тази също „отиват никъде“. Между другото, проверете дали броят е неговият лимит.

Сега ще покажем, че последователността няма ограничение. Помислете, например, за околност на точката. Абсолютно ясно е, че няма такова число, след което ВСИЧКИ термини да се окажат в даден квартал - нечетните термини винаги ще "изскочат" до "минус едно". По подобна причина в точката няма ограничение.

Докажете, че границата на редицата е нула. Посочете числото, след което всички членове на последователността са гарантирани, че са във всяка произволно малка околност на точката.

Забележка: за много последователности изискваното естествено число зависи от стойността - оттук и обозначението .

Решение: разгледайте произволна околност на точка и проверете дали има число, така че ВСИЧКИ членове с по-високи числа да бъдат в тази околност:

За да покажем съществуването на търсеното число, ние го изразяваме чрез .

Тъй като за всяка стойност на "en", знакът за модул може да бъде премахнат:

Използваме „училищни“ действия с неравенства, които повторих в уроците Линейни неравенства и Област на функция. В този случай важно обстоятелство е, че "epsilon" и "en" са положителни:

Тъй като отляво говорим за естествени числа, а дясната страна е вътре общ случайе дробно, тогава трябва да се закръгли:

Забележка: понякога единица се добавя отдясно, за да бъде по-сигурно, но в действителност това е излишно. Относително казано, ако отслабим резултата чрез закръгляне надолу, тогава най-близкото подходящо число („три“) все още ще отговаря на първоначалното неравенство.

Сега разглеждаме неравенството и си спомняме, че първоначално разглеждахме произволна околност, т.е. "epsilon" може да бъде равно на всяко положително число.

Заключение : за всяка произволно малка околност на точка е намерена такава стойност, че за всички по-големи числа неравенството . По този начин числото е границата на последователност по дефиниция. Q.E.D.

Между другото, от получения резултат ясно се вижда естествен модел: колкото по-малък е кварталът, толкова по-голямо е числото, след което ВСИЧКИ членове на последователността ще бъдат в този квартал. Но колкото и малък да е „епсилонът“, вътре винаги ще има „безкрайна опашка“, а отвън – дори голям, но краен брой членове.