Kérdés: Több változó komplex függvényeinek deriváltjai (egy és több független változó eseteit tekintsük). Több változó komplex függvényének deriváltja és differenciálja Két változó összetett függvénye

) már többször találkoztunk parciális származékokkal összetett funkciók hasonló és nehezebb példák. Akkor miről lehet még beszélni?! ...És minden olyan, mint az életben - nincs olyan bonyolultság, ami ne lehetne bonyolult =) De a matematika arra való, hogy a világunk sokszínűségét szigorú keretek közé illessze. És néha ez egyetlen mondattal megtehető:

Általában a komplex függvénynek van formája , hol, legalább egy betűkből képviseli funkció, ami attól függhet önkényes változók száma.

A minimális és legegyszerűbb lehetőség egy változó régóta ismert komplex függvénye, amelynek származéka megtanultuk, hogyan kell megtalálni az elmúlt félévben. Megvan a képessége a funkciók megkülönböztetésére is (Nézze meg ugyanazokat a funkciókat ) .

Így most csak az eset érdekel majd minket. Az összetett függvények sokfélesége miatt a származékaik általános képletei nagyon körülményesek és nehezen megemészthetők. Ebben a tekintetben korlátozom magam konkrét példák, amelyből megértheti ezeknek a származékoknak az általános elvét:

1. példa

Adott egy komplex függvény ahol . Kívánt:
1) keresse meg a deriváltját, és írja le az elsőrendű összdifferenciált;
2) számítsa ki a derivált értékét -ban.

Megoldás: Először is nézzük meg magát a függvényt. Felajánlunk egy funkciót a és függvényében, ami viszont függvények egy változó:

Másodszor, figyeljünk nagyon magára a feladatra – meg kell találnunk származéka, vagyis nem parciális deriváltokról beszélünk, amiket megszoktunk találni! Mivel a funkció valójában csak egy változótól függ, akkor a „származék” szó azt jelenti teljes származék. Hogyan lehet megtalálni őt?

Az első dolog, ami eszünkbe jut, a közvetlen helyettesítés és a további differenciálás. Cseréljük működni:
, amely után nincs probléma a kívánt származékkal:

És ennek megfelelően a teljes különbség:

Ez a megoldás matematikailag helyes, de egy apró árnyalat, hogy amikor a probléma úgy van megfogalmazva, ahogyan megfogalmazódik, akkor senki nem vár el tőled ekkora barbárságot =) De komolyan, itt tényleg lehet hibát találni. Képzeljük el, hogy egy függvény egy darázs repülését írja le, és a beágyazott függvények a hőmérséklettől függően változnak. Közvetlen helyettesítés végrehajtása , csak kapunk privát információkat, ami mondjuk csak meleg időben jellemzi a repülést. Sőt, ha egy poszméhekhez nem járatos személynek bemutatják a kész eredményt, és még azt is elmondják, hogy mi ez a funkció, akkor soha nem fog megtudni a repülés alaptörvényéről!

Így teljesen váratlanul zümmögő testvérünk segített megértenünk az univerzális képlet jelentését és fontosságát:

Szokjon hozzá a származékok „kétszintes” jelöléséhez – a vizsgált feladatban ezek használatosak. Ebben az esetben az egyiknek lennie kell nagyon ügyes a szócikkben: a „de” közvetlen szimbólumokkal rendelkező származékok teljes származékok, a lekerekített ikonokkal rendelkező származékok pedig részleges származékok. Kezdjük az utolsókkal:

Nos, a „farokkal” általában minden elemi:

Helyettesítsük be a talált származékokat a képletünkbe:

Ha egy függvényt kezdetben bonyolult módon javasolnak, az logikus lesz (és ezt fentebb kifejtjük!) hagyjuk az eredményeket úgy, ahogy vannak:

Ugyanakkor a „kifinomult” válaszoknál jobb tartózkodni a minimális egyszerűsítésektől is (itt pl. 3 mínusz eltávolítandó)- és kevesebb a munkája, és szőrös barátja szívesen áttekinti a feladatot könnyebben.

Egy durva ellenőrzés azonban nem lesz felesleges. Cseréljük a talált származékba, és hajtson végre egyszerűsítéseket:


(az utolsó lépésben használtuk trigonometrikus képletek , )

Ennek eredményeként ugyanazt az eredményt kaptuk, mint a „barbár” megoldási módszerrel.

Számítsuk ki a pont deriváltját. Először célszerű megtudni a „tranzit” értékeket (függvényértékek ) :

Most elkészítjük a végső számításokat, amelyek a ebben az esetben különböző módon lehet megtenni. Egy érdekes technikát alkalmazok, amelyben a 3. és 4. „emelet” nem a szokásos szabályok szerint egyszerűsödik, hanem két szám hányadosaként alakul át:

És persze bűn nem tömörebb jelöléssel ellenőrizni :

Válasz:

Előfordul, hogy a problémát „féláltalános” formában javasolják:

"Keresse meg a függvény deriváltját ahol »

Vagyis a „fő” függvény nincs megadva, de a „beszúrásai” meglehetősen specifikusak. A választ ugyanabban a stílusban kell megadni:

Ezenkívül a feltétel kissé titkosítható:

"Keresse meg a függvény deriváltját »

Ebben az esetben szüksége van egymaga jelölje ki a beágyazott függvényeket néhány megfelelő betűvel, például a through és használja ugyanazt a képletet:

Egyébként a betűjelölésekről. Már többször felszólítottam, hogy ne „kapaszkodjunk a betűkbe”. mentőgyűrűt, és ez most különösen aktuális! A témával kapcsolatos különféle forrásokat elemezve általában az a benyomásom támadt, hogy a szerzők „megőrültek”, és kíméletlenül a matematika viharos szakadékába kezdték dobni a diákokat =) Szóval bocsáss meg :))

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját , Ha

Az egyéb megnevezések nem lehetnek zavaróak! Minden alkalommal, amikor ilyen feladattal találkozik, két egyszerű kérdésre kell válaszolnia:

1) Mitől függ a „fő” funkció? Ebben az esetben a „zet” függvény két függvénytől függ („y” és „ve”).

2) Milyen változóktól függenek a beágyazott függvények? Ebben az esetben mindkét „betét” csak az „X”-től függ.

Így nem okozhat nehézséget a képlet ehhez a feladathoz igazítása!

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Az első típusra további példák találhatók Rjabushko problémakönyve (IDZ 10.1), nos, felé tartunk három változó függvénye:

3. példa

Adott egy függvény, ahol .
Számítsa ki a derivált a pontban

Az összetett függvény deriváltjának képletének sokak szerint van egy kapcsolódó alakja:

Döntsd el, ha kitaláltad =)

Minden esetre adok egy általános képletet a függvényhez:
, bár a gyakorlatban nem valószínű, hogy a 3. példánál hosszabbat lát.

Ezenkívül néha meg kell különböztetni a „csonka” változatot - általában az űrlap függvényében vagy. Ezt a kérdést meghagyom Önnek, hogy tanulmányozza saját maga - találjon ki néhány egyszerű példát, gondolkodjon, kísérletezzen, és származtassa a származékok rövidített képleteit.

Ha valami még mindig nem világos, kérjük, lassan olvassa el újra és értse meg a lecke első részét, mert most a feladat bonyolultabb lesz:

4. példa

Keresse meg egy komplex függvény parciális deriváltjait, ahol

Megoldás: ennek a függvénynek az alakja , és közvetlen behelyettesítés után két változó szokásos függvényét kapjuk:

De az ilyen félelmet nemhogy nem fogadják el, de az ember már nem is akar különbséget tenni =) Ezért kész képleteket fogunk használni. A minta gyors megértése érdekében teszek néhány megjegyzést:

Nézd meg figyelmesen a képet fentről lefelé és balról jobbra….

Először keressük meg a „fő” függvény parciális deriváltjait:

Most megtaláljuk a „bélések” „X” származékait:

és írja le a végső „X” származékot:

Hasonlóan a „játékkal” is:

És

Ragaszkodhat egy másik stílushoz - találja meg az összes „farkot” egyszerre majd írja le mindkét származékot.

Válasz:

A helyettesítésről valahogy nem gondolok semmire =) =), de lehet kicsit módosítani az eredményeken. Bár még egyszer: miért? – csak megnehezíti a tanár ellenőrzését.

Ha kell, akkor teljes differenciálmű itt a szokásos képlet szerint van írva, és egyébként ebben a lépésben válik megfelelővé a könnyű kozmetikumok:


Ez... ...egy koporsó kerekeken.

A vizsgált komplex funkciótípus népszerűsége miatt van néhány önálló megoldási feladat. Egy egyszerűbb példa „féláltalános” formában magának a képletnek a megértésére szolgál;-):

5. példa

Keresse meg a függvény parciális deriváltjait, ahol

És még bonyolultabb - a megkülönböztetési technikák bevonásával:

6. példa

Keresse meg egy függvény teljes differenciálját , Hol

Nem, egyáltalán nem próbállak „leküldeni” – minden példa onnan származik igazi munka, és „a nyílt tengeren” bármilyen betűvel találkozhatsz. Mindenesetre elemeznie kell a függvényt (2 kérdés megválaszolása – lásd fent), mutassa be általános nézetés gondosan módosítsa a parciális derivált képleteket. Lehet, hogy most egy kicsit össze van zavarodva, de meg fogod érteni a felépítésük alapelvét! Mert az igazi kihívások még csak most kezdődnek :))))

7. példa

Keressen parciális deriváltokat, és hozza létre egy komplex függvény teljes differenciálját
, Hol

Megoldás: a „main” függvény alakja van, és továbbra is két változótól függ – „x” és „y”. De a 4. példához képest egy másik beágyazott függvény került hozzáadásra, és ezért a parciális derivált képletek is meghosszabbodnak. Mint abban a példában, a minta jobb megjelenítése érdekében kiemelem a „fő” részleges származékokat különböző színekkel:

És ismét figyelmesen tanulmányozza a rekordot fentről lefelé és balról jobbra.

Mivel a probléma „féláltalános” formában van megfogalmazva, minden munkánk lényegében a beágyazott függvények részleges származékainak megtalálására korlátozódik:

Az első osztályos tanuló képes kezelni:

És még a teljes differenciálmű is nagyon szép lett:

Szándékosan nem ajánlottam fel Önnek semmilyen konkrét funkciót, hogy a felesleges rendetlenség ne akadályozza a sematikus diagram feladatokat.

Válasz:

Elég gyakran találkozhatunk „vegyes méretű” befektetésekkel, pl.

Itt a „fő” függvény, bár alakja , mégis függ mind az „x”-től, mind az „y-től”. Ezért ugyanazok a képletek működnek - csak néhány parciális derivált lesz egyenlő nullával. Sőt, ez az olyan funkciókra is igaz, mint pl , amelyben minden egyes „bélés” egy változótól függ.

Hasonló helyzet fordul elő a lecke utolsó két példájában:

8. példa

Határozzuk meg egy komplex függvény teljes differenciáját egy pontban

Megoldás: a feltétel „költségvetési” módon van megfogalmazva, és a beágyazott függvényeket magunknak kell felcímkéznünk. Szerintem ez egy jó lehetőség:

A „beszúrások” tartalmazzák ( FIGYELEM!) HÁROM betű a jó öreg „X-Y-Z”, ami azt jelenti, hogy a „fő” függvény valójában három változótól függ. Formálisan átírható a következőre, és a parciális származékokat ebben az esetben a következő képletek határozzák meg:

Szkennelünk, elmélyülünk, rögzítünk….

Feladatunkban:

Tétel.Hadd u = f (x, y) a D és let tartományban van megadva x = x(t)És y = y(t) azonosították a területen , és mikor , akkor x és y a D régióhoz tartozik. Legyen az u függvény differenciálható az M pontban 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), és x függvények(t) és at(t) differenciálható a megfelelő t pontban 0 , akkor az u = f komplex függvény[x(t),y(t)]=F (t)t pontban differenciálható 0 és az egyenlőség érvényesül:

.

Bizonyíték. Mivel u feltétel szerint differenciálható a pontban ( x 0 , y 0), akkor a teljes növekményét a következőképpen ábrázoljuk

Ezt az arányt elosztva -vel, a következőt kapjuk:

Menjünk a határértékig, és kapjuk meg a képletet

.

1. megjegyzés. Ha u= u(x, y) És x= x, y= y(x), akkor a függvény teljes deriváltja u változó szerint X

vagy .

Az utolsó egyenlőség felhasználható egy változó függvényének megkülönböztetésére vonatkozó szabály bizonyítására, implicit formában megadva F(x, y) = 0, ahol y= y(x) (lásd a 3. témakört és a 14. példát).

Nálunk: . Innen . (6.1)

Térjünk vissza a 3. téma 14. példájához:

;

.

Mint látható, a válaszok egybeestek.

2. megjegyzés. Hadd u = f (x, y), Hol X= X(t ,v), at= at(t ,v). Ekkor u végső soron két változó komplex függvénye tÉs v. Ha most az u függvény differenciálható a pontban M 0 (x 0 , y 0), és a függvények XÉs at differenciálható a megfelelő ponton ( t 0 , v 0), akkor a vonatkozásban parciális deriváltokról beszélhetünk tÉs v pontban lévő komplex függvényből ( t 0 , v 0). De ha a t-re vonatkozó parciális deriváltról beszélünk egy meghatározott pontban, akkor a második v változót állandónak tekintjük és egyenlőnek v 0 . Következésképpen csak egy komplex függvény deriváltjáról beszélünk t vonatkozásában, ezért használhatjuk a származtatott formulát. Így kapunk.

Adott egy komplex függvény deriváltjának képletének bizonyítása. Részletesen megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor egy komplex függvény egy vagy két változótól függ. Az általánosítás tetszőleges számú változó esetére történik.

Lásd még: Példák a komplex függvény deriváltjának képletére

Alapképletek

Itt a következő képletek származtatását adjuk meg egy komplex függvény deriválására.
Ha , akkor
.
Ha , akkor
.
Ha , akkor
.

Komplex függvény származéka egy változóból

Legyen az x változó függvénye komplex függvényként ábrázolva a következő formában:
,
ahol van néhány funkció. A függvény az x változó valamely értékére differenciálható.
A függvény a változó értékén differenciálható.
(1) .

Ekkor a komplex (összetett) függvény az x pontban differenciálható, és deriváltját a következő képlet határozza meg:
;
.

Az (1) képlet a következőképpen is felírható:

Bizonyíték
;
.
Vezessük be a következő jelölést.

Itt van a és a változók függvénye, van az és a változók függvénye.
;
.

De kihagyjuk ezeknek a függvényeknek az argumentumait, hogy ne zavarjuk a számításokat.
.
Mivel a és függvények az x, illetve a pontokban differenciálhatók, ezért ezekben a pontokban vannak ezeknek a függvényeknek a deriváltjai, amelyek a következő határértékek:
.
Vegye figyelembe a következő funkciót:
.

Az u változó fix értékére a függvénye.
.
Vegye figyelembe a következő funkciót:
.

Ez nyilvánvaló

.

Majd

Mivel a függvény a ponton differenciálható függvény, ezért abban a pontban folytonos. azért

Most megtaláljuk a származékot.
,
A képlet bevált.
.
Következmény

Ha egy x változó függvénye egy komplex függvény komplex függvényeként ábrázolható
akkor származékát a képlet határozza meg
.
Itt van néhány differenciálható függvény.
.
Ennek a képletnek a bizonyításához szekvenciálisan kiszámítjuk a deriváltot a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabály segítségével.
.
Itt van néhány differenciálható függvény.
.

Tekintsük az összetett függvényt

A származéka Vegye figyelembe az eredeti funkciót.

Komplex függvény származéka két változóból
,
Most hagyjuk, hogy a komplex függvény több változótól függjön. Először nézzük meg
két változó komplex függvényének esete
Legyen egy x változótól függő függvény két változó komplex függvénye a következő formában:
(2) .

Az (1) képlet a következőképpen is felírható:

Ahol
;
.
és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékéhez;
;
.
- két változó függvénye, amely a pontban differenciálható.
;
.

Ekkor a komplex függvény a pont egy bizonyos környezetében van definiálva, és van egy deriváltja, amelyet a következő képlet határoz meg:
(3) .
és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékéhez;

Mivel a és függvények a pontban differenciálhatók, ennek a pontnak egy bizonyos környezetében vannak definiálva, a pontban folytonosak, és deriváltjaik a pontban léteznek, amelyek a következő határértékek:
;

Itt
Ezeknek a funkcióknak a folytonossága miatt egy ponton a következőkkel rendelkezünk:
;
.
Mivel a függvény a pontban differenciálható, ennek a pontnak egy bizonyos környezetében van definiálva, ebben a pontban folytonos, és növekménye a következő formában írható fel:
;
.

- egy függvény növelése, ha argumentumait értékekkel és értékekkel növeljük;

. :
.
Cseréljük ki a (3)-at:



.

Majd

Egy komplex függvény származéka több változóból

A fenti következtetés könnyen általánosítható arra az esetre, amikor egy komplex függvény változóinak száma kettőnél több.

Például ha f értéke három változó függvénye, Azt
,
Most hagyjuk, hogy a komplex függvény több változótól függjön. Először nézzük meg
, és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- három változó differenciálható függvénye a , , pontban.
Ezután a függvény differenciálhatóságának definíciójából a következőt kapjuk:
(4)
.
Mert a folytonosság miatt
; ; ,
Hogy
;
;
.

A (4)-et elosztva a határértékig a következőt kapjuk:
.

És végül mérlegeljük a legáltalánosabb eset.
Legyen az x változó függvénye n változó komplex függvénye a következő formában:
,
Most hagyjuk, hogy a komplex függvény több változótól függjön. Először nézzük meg
vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- n változó differenciálható függvénye egy pontban
, , ... , .
Vegye figyelembe a következő funkciót:
.

1°. Egy független változó esete. Ha z=f(x,y) az x és y argumentumok differenciálható függvénye, amelyek viszont a független változó differenciálható függvényei t: , akkor a komplex függvény deriváltja képlettel lehet kiszámítani

Példa. Keresse meg, ha, hol.

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:

Példa. Keresse meg a parciális deriváltot és a teljes deriváltot, ha .

Megoldás. .

A (2) képlet alapján megkapjuk .

2°. Több független változó esete.

Hadd z =f (x ;y) - két változó függvénye XÉs y, amelyek mindegyike a független változó függvénye t : x =x(t ), y =y (t). Ebben az esetben a függvény z =f (x(t);y (t )) egy független változó komplex függvénye t; változók x és y köztes változók.

Tétel. Ha z == f(x ; y) - egy ponton differenciálható M(x;y)D funkció és x =x(t)És at =y (t) - a független változó differenciálható függvényei t, akkor egy komplex függvény deriváltja z (t) == f(x(t);y (t )) képlettel számítjuk ki

Különleges eset:z = f (x ; y), ahol y = y(x), azok. z = f (x ;y (x )) - egy független változó komplex függvénye X. Ez az eset redukálódik az előzőre, és a változó szerepére t játszik X. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

.

Az utolsó képlet az ún teljes származékos képletek.

Általános eset: z = f (x ;y ), Ahol x =x(u ;v),y =y (u ;v) Ekkor z = f (x(u ;v);y (u ;v)) - független változók komplex függvénye ÉsÉs v. Parciális származékait a (3) képlet segítségével a következőképpen találhatjuk meg. Miután rögzítette v, kicseréljük benne , a megfelelő parciális származékokat

Így egy komplex függvény (z) deriváltja az egyes független változókra vonatkozóan (ÉsÉs v) egyenlő e függvény (z) parciális deriváltjainak szorzatainak összegével a közbenső változóihoz képest (x és y) származékaikhoz a megfelelő független változó tekintetében (u és v).

A képlet minden esetben érvényes

(egy teljes differenciál invariancia tulajdonsága).

Példa. Keresse meg és ha z = f(x ,y ), ahol x =uv , .

Megoldás. A (4) és (5) képlet alkalmazásával kapjuk:

Példa. Mutassuk meg, hogy a függvény kielégíti az egyenletet .

Megoldás. A függvény egy köztes argumentum révén függ x-től és y-tól, tehát

Ha parciális deriváltokat helyettesítünk az egyenlet bal oldalán, akkor a következőt kapjuk:

Vagyis a z függvény kielégíti ezt az egyenletet.

A függvény adott irányú és gradiensének deriváltja

1°. Egy függvény származéka adott irányban. Származék függvények z= f(x,y) ebben az irányban hívott , ahol és a függvény értékei pontokban és . Ha a z függvény differenciálható, akkor a képlet érvényes

hol vannak az irányok közötti szögek lés a megfelelő koordinátatengelyek. Az adott irányú derivált egy függvény adott irányú változási sebességét jellemzi.

Példa. Határozzuk meg a z = 2x 2 - 3 2 függvény deriváltját a P (1; 0) pontban abban az irányban, amely 120°-os szöget zár be az OX tengellyel.

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait és értékeit a P pontban.

Legyen z=ƒ(x;y) két x és y változó függvénye, amelyek mindegyike egy független t változó függvénye: x = x(t), y = y(t). Ebben az esetben a z = f(x(t);y(t)) függvény egy t független változó komplex függvénye; az x és y változók köztes változók.

44.4. Tétel. Ha z = ƒ(x;y) az M(x;y) є D pontban differenciálható függvény és x = x(t) és y = y(t) a t független változó differenciálható függvényei, akkor a derivált a z(t ) = f(x(t);y(t)) komplex függvényből a képlet segítségével számítjuk ki

Adjunk a t független változónak egy Δt növekményt. Ekkor az x = = x(t) és y = y(t) függvények Δх és Δу növekményt kapnak. Ezek viszont a z függvény Az értékét növelik.

Mivel a feltétel alapján a z - ƒ(x;y) függvény az M(x;y) pontban differenciálható, a teljes növekménye a következő formában ábrázolható

ahol а→0, β→0 Δх→0, Δу→0 (lásd a 44.3. bekezdést). Osszuk el a Δz kifejezést Δt-vel, és menjünk a Δt→0 határértékre. Ekkor Δх→0 és Δу→0 az x = x(t) és y = y(t) függvények folytonossága miatt (a tétel feltételei szerint differenciálhatóak). Kapunk:

Speciális eset: z=ƒ(x;y), ahol y=y(x), azaz z=ƒ(x;y(x)) egy független x változó komplex függvénye. Ez az eset redukálódik az előzőre, és a t változó szerepét x játssza. A (44.8) képlet szerint:

A (44.9) képletet teljes derivált képletnek nevezzük.

Általános eset: z=ƒ(x;y), ahol x=x(u;v), y=y(u;v). Ekkor z= f(x(u;v);y(u;v)) az u és v független változók komplex függvénye. Parciális származékait a (44.8) képlet segítségével a következőképpen találhatjuk meg. A v rögzítése után a megfelelő parciális deriváltra cseréljük

Hasonlóan kapjuk:

Így egy komplex függvény (z) deriváltja minden független változóra (u és v) egyenlő ezen függvény (z) parciális deriváltjainak a közbenső változóira (x és y) vonatkozó szorzatainak összegével. ) és származékai a megfelelő független változó (u és v) vonatkozásában.

44.5. példa. Keresse meg, ha z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Megoldás: Keressük meg a dz/du-t (dz/dv - függetlenül), a (44.10) képlet segítségével:

Egyszerűsítsük le a kapott egyenlőség jobb oldalát:

40. Több változó függvényének parciális deriváltjai és teljes differenciáljai.

Legyen adott a z = ƒ (x; y) függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik megtartja értékét. Adjunk meg az x független változónak egy Δx növekményt úgy, hogy y értéke változatlan marad. Ekkor z növekményt kap, amelyet z x-hez viszonyított részleges növekményének nevezünk, és ∆ x z-nek jelöljük. Így,

Δxz=ƒ(x+Δx;y)-ƒ(x;y).

Hasonlóképpen megkapjuk z részleges növekményét y-hoz képest:

Δ y z=ƒ(x;y+Δy)-ƒ(x;y).

A z függvény teljes Δz növekményét az egyenlőség határozza meg

Δz = ƒ(x + Δx;y + Δy) - ƒ(x;y).

Ha van határ

akkor a z = ƒ (x; y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az M (x; y) pontban az x változóhoz képest, és az egyik szimbólummal jelöljük:

Az x-re vonatkozó parciális deriváltokat az M 0 (x 0 ; y 0) pontban általában szimbólumokkal jelöljük

A z=ƒ(x;y) parciális deriváltját az y változóhoz hasonlóan definiáljuk és jelöljük:

Így több (két, három vagy több) változó függvényének parciális deriváltja e változók egyikének függvényének deriváltja, feltéve, hogy a többi független változó értéke állandó. Ezért az ƒ(x;y) függvény parciális deriváltjait az egyik változó függvényének deriváltjainak kiszámítására szolgáló formulák és szabályok segítségével találjuk meg (ebben az esetben x vagy y állandó értéknek tekinthető).

44.1. példa. Határozzuk meg a z = 2y + e x2-y +1 függvény parciális deriváltjait! Megoldás:

Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése

A z= ƒ (x; y) függvény grafikonja egy bizonyos felület (lásd 12.1. fejezet). A z = ƒ (x; y 0) függvény grafikonja ennek a felületnek az y = y o síkkal való metszésvonala. Az egyik változó függvényének deriváltjának geometriai jelentése alapján (lásd a 20.2. bekezdést) arra a következtetésre jutunk, hogy ƒ"x(x o; y o) = tan a, ahol a az Ox tengely és a görbe z = ƒ (x; y 0) a Mo(xo;yo; ƒ(xo;yo)) pontban (lásd 208. ábra).

Hasonlóképpen, f"y(x 0;y 0)=tgp.

A Z=f(x,y) függvényt differenciálhatónak nevezzük a P(x,y) pontban, ha teljes ΔZ növekménye a következőképpen ábrázolható: Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), ahol Δx és Δy – a megfelelő x és y argumentumok tetszőleges növekménye a P, A és B pont bizonyos környezetében állandó (nem függ Δx,Δy-tól),

ω(Δx,Δy) – a távolságnál magasabb rendű végtelen kicsi:

Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor a teljes növekménye abban a pontban két részből áll:

1. Az A∙Δx+B∙Δy függvény növekményének fő része lineáris a Δx,Δy függvényhez

2. És a nemlineáris ω(Δx,Δy) egy magasabb rendű infinitezimális, mint a növekmény fő része.

Egy függvény növekményének fő részét, lineárisan Δx,Δy függvényében, a függvény teljes differenciáljának nevezzük, és ezt jelöljük:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx és Δy=dy vagy két változó függvényének teljes differenciája:

Kijelző differenciálmű. Egy változó numerikus függvényének differenciálja és deriváltja. Származékok táblázata. Differenciálhatóság. ) az argumentum függvénye, amely infinitezimális mint →0, azaz.

Tisztázzuk most az összefüggést egy pontban a differenciálhatóság és a derivált ugyanabban a pontban való létezése között.

Tétel. A funkció érdekében f(x) egy adott ponton differenciálható volt X , szükséges és elégséges, hogy ezen a ponton véges deriváltja legyen.

Származékok táblázata.